Demostrando divisibilidad de los contables producto de espacios separables utilizando la densidad.

Question

Deje $\{X_j\}_{j=1}^{+\infty}$ ser una secuencia de espacios separables.

El objetivo es demostrar que el infinito producto cartesiano de espacios separables es, de hecho, separables por mostrar que el producto tiene un subconjunto denso, derivadas del hecho de que cada una de las $X_m$ tiene un countably subconjunto denso.

Answer 1

Para $n\in\Bbb Z^+$ deje $D_n$ ser una contables subconjunto denso de $X_n$, y fijar un punto de $x_n\in D_n$. Para $m\in\Bbb Z^+$ vamos

$$E_m=\left\{y\in\prod_{n\in\Bbb Z^+}D_n:y_n=x_n\text{ for all }n\ge m\right\}\;,$$

y deje $$E=\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}E_m\;.$$

A continuación, cada uno de los $$E_m=\prod_{1\le n<m}D_n\times\prod_{n\ge m}\{x_n\}$$ is clearly countable, so $E$ is countable. Every non-empty open set in $X=\prod_{n\in\Bbb Z^+}X_n$ contiene un básico conjunto abierto de la forma

$$B=\prod_{1\le n<m}V_n\times\prod_{n\ge m}X_n\;,$$ where $V_n$ is a non-empty open set in $X_n$ for $1\le n<m$, and clearly $B\cap E_m\ne\varnothing$, so $E$ is dense in $X$.

Answer 2

Vamos para cada $k$, $D_j$ contables y denso en $X_j$ $$D:=\bigcup_{n\geqslant 1}\{(x_1,\dots,x_n,x_{n+1},\dots),x_j\in D_j, 1\leqslant j\leqslant n\}.$$ Entonces:

• $D$ contables como una unión finita productos cartesianos de conjuntos contables.
• $D$ es denso en $X$. Si $x\in X$ $V$ es un barrio de $x$, por definición de la topología producto, podemos encontrar un entero $N$$1\leqslant j\leqslant N$, un conjunto abierto $O_j$$X_j$$x_j\in O_j$. Ahora vamos a utilizar la densidad de $D_j$$X_j$.