Sí, para una órbita circular a unos $1.50$ radios de la Tierra, las dilataciones del tiempo gravitacional y especial-relativista se cancelan. El GPS se modela con la métrica estática de campo débil (en unidades de $c = 1$ ): $$-d\tau^2 = -(1+2\Phi)dt^2 + (1-2\Phi)\underbrace{(dx^2+dy^2+dz^2)}_{dS^2},$$ por lo que podemos aproximar $$d\tau = dt\sqrt{1+2\Phi-(1-2\Phi)\frac{dS^2}{dt^2}}\approx\left[1+\Phi-\frac{v^2}{2}\right]dt,$$ con correcciones debidas a la dilatación del tiempo gravitacional y a la dilatación del tiempo relativista especial de forma aditiva a este orden, ya que esta última da un factor de $1/\gamma = 1 - \frac{v^2}{2} + \mathscr{O}(v^4)$ mientras que la dilatación gravitacional estacionaria tendría un factor de $\sqrt{1+2\Phi} = 1 + \Phi + \mathscr{O}(\Phi^2)$ .
En el orden de aproximación anterior, todos los relojes del geoide marcan la misma velocidad porque el geoide es una superficie equipotencial del suma de los potenciales gravitatorio y centrífugo (esto se llama a veces potencial de gravedad ). Este factor común resulta ser $1 - \alpha$ , donde $\alpha \approx 6.9692\times10^{-10}$ .
Como la métrica es estática, $\partial_t$ es un campo de Killing que produce la conservación de la energía específica orbital $\epsilon = (1+2\Phi)\frac{dt}{d\tau}$ . Si queremos que el satélite tenga la misma dilatación temporal que el reloj del geoide, entonces por sustitución, $\Phi$ debe ser una constante, y en consecuencia también debe ser $v$ . En otras palabras, no es posible tener una órbita que compense los cambios en el potencial gravitatorio con los cambios en la velocidad para mantener la dilatación temporal global.
Ahora, si aproximamos la Tierra como esféricamente simétrica con potencial gravitacional $\Phi = -\frac{\mu}{r}$ entonces está claro que sólo hay que considerar las órbitas circulares, y la misma condición de velocidad de tictac $-\Phi + \frac{v^2}{2} = \alpha$ da $\alpha = \frac{3}{2}\frac{\mu}{r}$ o $1.50$ Radios terrestres.
En realidad, el potencial gravitatorio en el modelo GPS se toma como los términos monopolar y cuadrupolar: $$\Phi = -\frac{\mu}{r}\left[1-J_2\left(\frac{a_1}{r}\right)^2P_2(\cos\theta)\right],$$ donde $\mu = GM_\text{E} = 3.986004418(9)\times 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ es el parámetro gravitacional estándar, $J_2 = 1.0826300\times10^{-3}$ es el coeficiente del momento cuadrupolar, $a_1 = 6.3781370\times10^6\,\text{m}$ es el radio ecuatorial, $\theta$ es el ángulo polar habitual, y $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$ es un polinomio de Legendre.
Esta situación es un poco más difícil, pero aún así se debería poder obtener una órbita que ofrezca una concordancia cercana en el plano ecuatorial.
