Una pregunta que me he atascado en es: demostrar que el $\mathbb{Q}$-subgrupo de torsión de la curva elíptica $y^2=x^3+d$ tiene el fin de dividir 6. Consejos sobre cómo empezar sería bueno. Traté de decir algo acerca de la reducción de la curva, pero la falta de información acerca de $d$ fue un problema. Supongo que la cantidad a intentar decir algo sobre el símbolo de Jacobi $\big( \frac{x^3+d}{p}\big)$$p\nmid 6d$, pero no lo veo.
Respuesta
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Se puede ver de esta manera: para todos, pero un número finito de números primos $p$, hay un inyectiva de morfismos de grupos de $E(\mathbb Q)_{tors}\to E(\mathbb F_p)$. Ahora tome $p\equiv -1\bmod 6$. Entonces no hay elementos de orden $3$ $\mathbb F_p^*$ y este le dice que $x\to x^3+d$ es un bijection de $\mathbb F_p$. Por lo tanto, para tales $p$'s debe tener $|E(\mathbb F_p)|=p+1$. Ahora desde $m=|E(\mathbb Q)_{tors}|\mid p+1$ para todos estos $p$'s, usted debe tener el que todos excepto un número finito de números primos $\equiv -1\bmod 6$$\equiv -1\bmod m$, y esto es posible iff $6\mid m$ debido a la del teorema de Dirichlet sobre primos en progresión aritmética.
