Resolver la siguiente ecuación funcional $f(xf(y))+f(yf(x))=2xy$

Question

Encontrar todos los $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, de modo que $f(xf(y))+f(yf(x)=2xy$.

Por poner $x=y=0$ obtenemos $f(0)=0$ y $x=y=1$ obtenemos $f(f(1))=1$. Deje $y=f(1)\Rightarrow f(x)+f(f(x)f(1))=2x$, lo cual nos dice que $f$ es una función inyectiva. La única solución que se me ocurrió hasta ahora se $f(x)=x$$f(x)=-x$.

Answer 1

Poner a $x=1$ $f(x)+f(f(x)f(1))=2xf(1)$ tenemos que $f(1)=\pm 1$

Deje $f(1)=1$.

$x\rightarrow xf(x), y\rightarrow \frac{1}{x} \Rightarrow f(xf(x)f(\frac{1}{x}))+f(x)=2f(x) \rightarrow f(x)f(\frac{1}{x})=1$.

Poniendo ahora $x\rightarrow \frac{1}{x}, y \rightarrow 1$ obtenemos $\frac{1}{f(x)}+ \frac{1}{f(f(x))}=\frac{2}{x}$. El uso de $f(f(x))=2x-f(x)$ obtenemos $(f(x)-x)^2=0$, y ahí tenemos uno de nuestros dos soluciones, $f(x)=x$. Llegamos $f(x)=-x$ como la solución colocando $f(1)=-1$.

Answer 2

Esto es todo lo que he encontrado hasta ahora:

Sólo mantener la alimentación de la serpiente con su propia cola. Como señaló $f(f(1))=1$. Así que con $x=y=f(1)$, vemos que $1=f(f(1))=(f(1))^2$, de modo que $f(1)=\pm 1$. Como casi correctamente dicho, hemos de $y=f(1)$ que $$ f(x)+f(f(x)f(1))=2xf(1) $$ que de hecho se muestra que el $f$ es inyectiva. Con esa observación, la observación del Pp.. funciona a la conclusión de que la $f$ es extraño dado que $f(xf(x))=x^2=f(-xf(-x))$ implica entonces $f(x)=-f(-x)$.

---

Ahora, si sabíamos que $f$ fue un polinomio sería fácil conlude que $f(xf(x))=x^2$ implica $\deg f(\deg f+1)=2$ $f$ tiene grado 1 en ese caso. Desde $f(0)=0$$f(1)=\pm 1$, que luego se implican $f(x)=\pm x$.

---

Pero si $f$ no es un polinomio, todo lo que puedo decirte en este momento es que $f$ es inyectiva, función odd con $f(0)=0$ $f(1)=\pm 1$ y un bucnh de las ecuaciones funcionales conectados a él. Tal vez alguien más puede elaborar más ...