¿Puede la intersección de dos colectores ser $xy=0$

Question

Sé que si dos colectores se cruzan transversalmente, su intersección es un colector. Pero estaba tratando de construir un ejemplo en el que la intersección no es un colector. Pero sigo sin ver cómo la intersección de dos variedades no puede ser una variedad. Sería estupendo, si alguien tiene algún contraejemplo que dé la intersección como $xy=0$ o cualquier otro conjunto que no sea un colector .

Answer 1

Dejemos que $M_1 \subset \Bbb R^3$ sea el $xy$ -plano y $M_2 = \{(x,y,z) | (xy)^2 = z\}$ . Entonces $M_2 \cap M_1 = \{(x,y,z) | xy = 0, z = 0\}$ como usted desee. $M_2$ es una colector por el teorema del valor regular, porque el mapa $f: \Bbb R^3 \to \Bbb R$ , $f(x,y,z) = z-(xy)^2$ es una inmersión.

La transversalidad se rompe de forma bastante salvaje, como se puede observar: de hecho, los planos tangentes de $M_2$ en los puntos donde $z=0$ son los $xy$ -Avión.

Guillemin y Pollack tienen unas bonitas imágenes de intersecciones no transversales en su libro. Es probable que haya algo con este resultado.

Puede ver una imagen de $M_2$ en WolframAlpha aquí .

E: De hecho, dejemos $X = f^{-1}(0)$ sea el conjunto cero de una función suave $\Bbb R^2 \to \Bbb R$ . A continuación, los mismos trabajos de construcción para construir $X$ como la intersección de dos submanifolds de $\Bbb R^3$ ; dejar que $M_2 = \{(x,y,z) | z = f(x,y)^2\}$ el mapa $f(x,y) - z$ sigue siendo una inmersión.

Y, de hecho, cualquier subconjunto cerrado de $\Bbb R^n$ es el conjunto cero de una función suave en particular, digamos, el Conjunto Cantor o el copo de nieve de Koch. ¡Así que puedes hacer que estas intersecciones sean bastante salvajes!