Calcular el $\lim\limits_{y\to{b}}\frac{y-b}{\ln{y}-\ln{b}}$

Question

¿Cómo podemos encontrar $\displaystyle \lim_{y\to{b}}\frac{y-b}{\ln{y}-\ln{b}}$ sin el uso de:

(a) la regla de L'Hôpital, (b) el límite de $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h} = 1$, y (c) el hecho de que $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x$.

La razón de las condiciones es que con este límite, estoy tratando de probar (c), y me he hecho con (b) y deduzco que sería circular a utilizar (un). Así que es eso. También, les agradecería si pudieran compartir una o más formas de demostrar que la derivada de $e^x$$e^x$. Muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Podemos convertir su $\lim $ a la inversa de la derivada de $f(y)=\ln y $, evaluated at $y=b$

$$\underset{y\rightarrow b}{\lim }\dfrac{y-b}{\ln y-\ln b}=\dfrac{1}{\underset{ y\rightarrow b}{\lim }\dfrac{\ln y-\ln b}{y-b}}=\dfrac{1}{\dfrac{d}{dy}\left. \ln y\right\vert _{y=b}}=\dfrac{1}{\left. \dfrac{1}{y}\right\vert _{y=b}}=% \dfrac{1}{\dfrac{1}{b}}=b.$$

Answer 2

Si $e^x=\sum_{n\geq0}x^n/n!$, entonces usted puede mostrar fácilmente que $e^{x+y}=e^xe^y$. Entonces $$\frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \frac{e^h-1}{h}e^x,$$ and to conclude that $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ we need only then show that $$\frac{e^h-1}{h}\to1$$ if $h\to0$. Utilizando su definición, que es fácil.

Answer 3

Veamos el límite en el título y la definición de $\log x$ (por favor discúlpenme por el uso de $\log$ notación en lugar de $\ln$) como en tu comentario, $$\log x =\int_1^x \frac{1}{t}dt$$ Por el teorema fundamental del cálculo nos han $$\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x}$$ en el otro lado $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$ por lo tanto $$\lim_{y\to x}\frac{y-x}{\log y-\log x}=\lim_{y\to x}\frac{1}{\frac{\log y-\log x}{y-x}}=\frac{1}{1/x}=x$$ donde en el último paso hemos utilizado el cociente regla $$\lim_{y\to a}\,g(y)=A\, \text{ and }\,\lim_{y\to a}\,h(y)=B\ne0\text{ implies }\lim_{y\to a}\,\frac{g(y)}{h(y)}=\frac{A}{B}$$ con $g(y)=1$.

Answer 4

Decir $y = b(1+\epsilon)$. A continuación,$\ln y - \ln b \approx \epsilon$, mientras que de $y - b = b\epsilon$. Así que todo se reduce a mostrar $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$.