Calcular $\lim\limits_{a \to 0^+} \left(a \int_1^{\infty} e^{-ax}\cos \left(\frac{2\pi}{1+x^{2}} \right)\,\mathrm dx\right)$

Question

¿Cómo puedo calcular el siguiente límite?

$$\lim_{a \to 0^+} \left(a \int_{1}^{\infty} e^{-ax}\cos \left(\frac{2\pi}{1+x^{2}} \right)\,\mathrm dx\right)$$

Cualquier sugerencias puede dar por favor?

Saludos

Answer 1

Sugerencia: trate de un cambio de la variable independiente $y:=ax$.

Answer 2

Más en general, para cada acotado medible función de $u$, considere la posibilidad de $$ I_a(u)=\int_0^{\infty} \mathrm e^{-ax}u(x)\mathrm dx,\qquad J_a(u)=a \int_1^{\infty} \mathrm e^{-ax}u(x)\mathrm dx. $$ Usted está interesado en $\lim\limits_{a\to0^+}J_a(u)$$u(x)=\cos(2\pi/(1+x^2))$.

Desde $I_a(u)-J_a(u)$ $a$ veces la integral en $(0,1)$ de una manera uniforme delimitada la función, cuando $a\to0^+$, $I_a(u)-J_a(u)\to0$. A partir de ahora, el estudio de $I_a(u)$.

A partir de aquí, hay varios métodos disponibles. La que yo prefiero es la nota que $I_a(u)=\mathrm E(u(X_a))$ donde $X_a$ es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro $a$, por lo tanto $X_a$ se distribuye de la $X_1/a$. Desde $X_1\gt0$ con total probabilidad, $X_1/a\to+\infty$ con total probabilidad. Por lo tanto, si $u$ tiene un límite de $u^*$ al infinito, $u$ es limitado y $I_a(u)=\mathrm E(u(X_1/a))\to u^*$ al $a\to0^+$.

En su caso, $u^*=\cos(0)=1$ por lo tanto $$ \lim_{un\to0^+} \int_1^{\infty} \mathrm e^{-ax}\cos(2\pi/(1+x^2))\mathrm dx=1. $$

Answer 3

Otro (rápido) idea. Usted puede comenzar mediante la desigualdad $$ 1-\frac{t^2}{2} \leq \cos(t) \leq 1 + \frac{t^2}{2} $$ Entonces $$ e^{-ax} - e^{-ax}\frac{4\pi^2}{2(1+x^2)^2} \leq e^{−ax} \cos\left(\frac{2}{1+x^2}\right) \leq e^{-ax} + e^{-ax}\frac{4\pi^2}{2(1+x^2)^2} $$ Al integrar esta desigualdad, obtenemos $a\int_1^{+\infty} e^{-ax} dx$ (que es el límite de la integral) y $a\int_1^{+\infty} e^{-ax}\frac{4\pi^2}{2(1+x^2)^2} dx$ que tiende hacia la $0$ desde $$ 0 \leq a\int_1^{+\infty} e^{-ax}\frac{4\pi^2}{2(1+x^2)^2} dx\leq a\int_1^{+\infty} \frac{4\pi^2}{2(1+x^2)^2}dx$$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ \begin{align} &\lim_{a \to 0^+}\bracks{a\int_{1}^{\infty}\expo{-ax} \cos\pars{2\pi \over 1 + x^{2}}\,\dd x} \\[3mm]&= \lim_{a \to 0^+}\braces{a\int_{1}^{\infty}\expo{-ax}\,\dd x - a\int_{1}^{\infty}\expo{-ax} \bracks{1 - \cos\pars{2\pi \over 1 + x^{2}}}\,\dd x} \\[3mm]&= \lim_{a \to 0^+}\braces{\int_{a}^{\infty}\expo{-x}\,\dd x - a\int_{1}^{\infty}\expo{-ax} \bracks{2\sin^{2}\pars{\pi \over 1 + x^{2}}}\,\dd x} \\[3mm]&= 1 - 2\quad\overbrace{% \lim_{a \to 0^{+}}\braces{a\int_{1}^{\infty}\expo{-ax} \sin^{2}\pars{\pi \over 1 + x^{2}}}\,\dd x}^{\ds{=\ 0\,,\quad \pars{~\mbox{see below}~}}}\tag{1} \end{align} $$\color{#0000ff}{\large% \lim_{a \to 0^+}\bracks{un\int_{1}^{\infty}\expo{-ax} \cos\pars{2\pi \más de 1 + x^{2}}\,\dd x} = 1} $$ Observe que $\verts{\sin\pars{x}} \leq \verts{x}$ $\expo{-ax} < 1$ al $ax > 0$. A continuación, $$ 0 \leq \verts{un\int_{1}^{\infty}\expo{-ax}\sin^{2}\pars{\pi \más de 1 + x^{2}}\,\dd x} \leq \verts{un}\,\verts{\int_{1}^{\infty}{\pi^{2} \\pars{x^{2} + 1}^{2}}\,\dd x} $$ tal que el límite en el lado derecho de la $\pars{1}$ es, de hecho, cero cuando $a \to 0^{+}$.

Answer 5

En primer lugar, ¿qué es $\lim_{a \to 0^+} \int_1^\infty ae^{-ax} \: dx$? Segundo, se puede mostrar que su integral no está tan lejos de $\int_1^\infty ae^{-ax} \: dx$?