Comer un pastel desde el interior.

Question

Imagina que estás en el centro de un cubo de la torta con un tamaño conocido. Con el fin de mover, usted debe comer los alrededores de la torta, pero sólo puede moverse dentro de las restricciones de los seis obvio direcciones $(x+1,x-1,y+1,y-1,z+1,z-1)$.

El rompecabezas es - se puede comer todo el pastel en una forma sin la superposición de partes de la torta, que ya ha comido.

Me gustaría responder a esta pregunta para un propósito práctico, y he pensado mucho en ello. Por lo que entiendo que sólo puede ser posible mediante el movimiento en diagonal (la aplicación de $2$ o más de los movimientos de los diferentes ejes al mismo tiempo-como$x-1$$y-1$).

He preguntado a mi profesor de matemáticas y algunos de mis amigos, pero estoy seguro de que debe haber una solución.

Answer 1

Este es un suplemento a los demás de respuesta. En particular, MathBob la sugerencia de que es posible cubrir completamente un cubo de lado a $5+4k$ inicio desde el centro.

Siguiente es un ejemplo de uso de la $5\times 5 \times 5$ cubo. Estamos mostrando a las 5 capas de el cubo de arriba a abajo. El número en cada ranura es el fin de una visita/comer el correspondiente trozo de pastel.

$$\left[\begin{array}{rrrrr}23&24&25&26&\color{#bbbb00}{27}\\22&9&10&11&12\\21&8&\color{orange}{3}&4&13\\20&7&6&5&14\\19&18&17&16&15\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrrr}32&31&30&29&\color{#00bb00}{28}\\33&46&45&44&43\\34&47&2&\color{blue}{51}&42\\35&48&49&50&41\\36&37&38&39&40\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrrr}71&72&73&74&75\\70&57&58&59&60\\69&56&\color{red}{1}&\color{magenta}{52}&61\\68&55&54&53&62\\67&66&65&64&63\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{rrrrr}80&79&78&77&\color{purple}{76}\\81&94&93&92&91\\82&95&100&99&90\\83&96&97&98&89\\84&85&86&87&88\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrrr}121&122&123&124&125\\120&107&108&109&110\\119&106&101&102&111\\118&105&104&103&112\\117&116&115&114&113\end{array}\right]$$

1. Inicio desde el centro de la torta (el rojo $\color{red}{1}$ $3^{rd}$ layer), uno comer/mover hacia arriba hasta que uno llega al centro de la capa superior (la de orange $\color{orange}{3}$ $1^{st}$ layer).
2. Espiral hacia afuera hasta que uno de agotar todas las ranuras en $1^{st}$ capa y terminar en una esquina (el amarillo de la esquina $\color{#bbbb00}{27}$).
3. Mueva hacia abajo a un rincón (el rincón verde $\color{#00bb00}{28}$ ) $2^{nd}$ capa.
4. Espiral hacia adentro hasta que un escape de todas las ranuras en $2^{nd}$ capa y terminar en una ranura (el azul $\color{blue}{51}$ ) próximo al centro en $2^{nd}$ capa.
5. Mover hacia abajo a una ranura (el magenta $\color{magenta}{52}$ $3^{rd}$ capa.

Luego repetimos esencialmente los mismos pasos $2-5$ hasta que agotar todas las capas. Cuando llegamos a una capa inferior a la del centro (he.e la $4^{th}$ $5^{th}$ capa en este caso ), paso 4 necesitar de una ligera modificación. En vez de terminar en una ranura al lado del centro, uno debe terminar en el centro para que la capa en particular.

Cuando el lado del cubo es de la forma $5+4k$, incluso hay número de capas por debajo del centro y entramos en la primera capa por debajo del centro en una esquina (en nuestro ejemplo, el $\color{purple}{76}$ $4^{th}$ capa), no vamos a tener ningún problema para completar el relleno de las capas por debajo del centro.

En contraste, para el cubo cuyo lado es de la forma $3+4k$, vamos a entrar en la primera capa por debajo del centro del cubo cerca del centro de la capa. Vamos a entrar en el problema de cómo cubrir el centro de la capa.

Espero que este ejemplo es bastante claro cómo cubierta del cubo de lado a $5 + 4k$.

Actualización

La siguiente es una pequeña animación que muestra cómo la $5 \times 5 \times 5$ cubo puede ser visitado. Para el propósito de la visualización, he volteado el cubo vertical. En la animación, el $1^{st}$ la capa que construir es la capa inferior en lugar de la capa superior se discutió anteriormente.

$\hspace1.2in$

Answer 2

Si usted está exactamente en el centro y se puede ir sólo en las 6 direcciones, es como estar en un cubo con un número impar de lados (con el fin de tener un punto medio exacto de cubo). Si usted colores de los cubos alternativamente en blanco y negro con el medio blanco, entonces usted está en el cubo blanco y hay uno más negro de los cubos que hay cubos blancos (contando el centro del cubo.) (Esta sería una de 3 x 3 x 3 o de 7 x 7 x 7 cubo.) Esto es debido a una extraña cara del cubo tiene n x n x n cubos de que sea un número impar de cubos, por lo que no tiene que ser más a los negros que a los blancos por 1 (o viceversa en 5 x 5 x 5 o 9 x 9 x 9 cubos, etc.) Por lo tanto, si usted come el blanco primero (en el que se encuentran), a continuación, comer alternativamente negro y, a continuación, cubos blancos, usted puede terminar encima de tener que comer un cubo blanco, a continuación, hay dos cubos de negro a la izquierda y comer en uno de ellos y, a continuación, usted no puede comer un cubo blanco!

Así, es imposible que yo pueda ver. Necesito editar mi respuesta. Si el número de unidades en cada lado es 5+4 k (donde k=0,1,2,...) entonces creo que se puede hacer debido a que el mayor número de cuadrados en blanco va a terminar con una blanca en el medio. Pero creo que 3+4k unidades en cada lado no se puede hacer debido a la situación que estaba describiendo. En 3+4k caras de los cubos de la mitad de la plaza es de un color diferente de las casillas de las esquinas. Este no puede ser hecho. (Si usted está en el medio de la plaza y es blanco y te la comes, habrá otras dos cuadrados de color negro que el blanco.) Mientras que en 5+4k caras de los cubos, el cuadrado del medio es del mismo color que las casillas de las esquinas y después de comer la mitad de la plaza habrá el mismo número de cuadrados de cada color.

Así, siempre se puede hacer si se rompe el cubo en el buen número impar de unidades en cada lado. Creo que esta es la respuesta correcta, pero puede haber más complicaciones de lo que he estado discutiendo. El 3+4k caras de los cubos definitivamente no se puede hacer.

Answer 3

Preámbulo: en comparación con MathBob del enfoque. Me di cuenta después de entrar a este que los conjuntos de $E,O$ se utiliza a continuación, también puede ser descrito como el conjunto de tripletas $(x,y,z)$ que $x+y+z$ es par o impar, respectivamente. Así que si el centro del cubo es de color blanco, este es el mismo colorante utilizado por MathBob, donde el recuento de blancos, es el número de $E$, el negro conteo de $O$, Lo que he encontrado difícil ver cómo la valor de $n$ mod $4$ entró en por qué hay uno más de los que color. Así que lo que hice fue contar estos números, y se vino que en el $n=4k+3$ caso no es uno más negro (impar) de blanco. No sé si hay una manera sencilla de ver ese corto de en realidad, contando los dos números como me hizo a continuación. Me fui a la del resto de fue, el uso del taxi de distancia del lenguaje.

Esta respuesta es para mostrar la imposibilidad en el caso de $n=4k+3,\ k\ge 0$ [El procedimiento para comer el pastel si $n=4k+1$ ya ha sido demostrado por achille hui y mencionado por MathBob.]

La idea es dividir los cubos en dos conjuntos de $E,O$ de los puntos cuya distancia en taxi desde el origen es par o impar, respectivamente. Se puede demostrar (ver más abajo) que para $n=4k+3$ hemos $$|E|=32k^3+72k^2+54k+13,\\ |O|=32k^3+72k^2+54k+14.$$ Cada movimiento legal es de un punto en $E$ a uno en $O$, o vice-versa. El centro del cubo es en $E$, y ya que estamos, comenzar por ahí, el recorrido no puede ser ya que no hay un elemento más en la $O$ de lo que hay en $E$.

la prueba de la cuenta para $|E|,|O|.$ En el conjunto de $\{-2k-1,\cdots,2k+1\}$ de los valores disponibles para una coordenada de un punto de $(x,y,z)$ $n$- cubo (con $n=4k+3$) no se $2k+1$ números enteros y $2k+2$ enteros impares. Si $(x,y,z)$ está en incluso en taxi de distancia de $(0,0,0)$ a continuación, cualquiera de las tres coordenadas son o, incluso, más dos son impares y la tercera aún. Puesto que hay tres maneras en que el impar,par,impar caso puede ocurrir, el conde de $|E|$ es $$|E|=(2k+1)^3+3(2k+1)(2k+2)^2,$$ que, al expandirse, es nuestra afirmó contar para $|E|.$ Por otro lado, si $(x,y,z)$ es extraño en taxi de distancia desde el origen, entonces cualquiera de las tres coordenadas son impares o más (tres formas) uno es impar y dos son incluso. Esto le da a la $|O|$ cuentan como $$|O|=(2k+2)^3+3(2k+2)(2k+1)^2,$$ que se expande a nuestro afirmó contar para $|O|$. Como una verificación se encuentra que $|E|+|O|=(4n+3)^3.$

Nota Final: Si uno hace el cálculo anterior para el (a ser posible) caso al $n=4k+1,\ k \ge 1$, resulta que $|E|=|O|+1$, lo que significa que a partir dentro de $E$ (en el centro del cubo) esta paridad argumento no descarta una ruta de acceso. (Eso es una buena cosa, dado que las construcciones de soluciones reales en el $4k+1$ de los casos.)