Preámbulo: en comparación con MathBob del enfoque. Me di cuenta después de
entrar a este que los conjuntos de $E,O$ se utiliza a continuación, también puede ser descrito como
el conjunto de tripletas $(x,y,z)$ que $x+y+z$ es par o impar,
respectivamente. Así que si el centro del cubo es de color blanco, este es el mismo
colorante utilizado por MathBob, donde el recuento de blancos, es el número de
$E$, el negro conteo de $O$, Lo que he encontrado difícil ver cómo la
valor de $n$ mod $4$ entró en por qué hay uno más de los que
color. Así que lo que hice fue contar estos números, y se vino
que en el $n=4k+3$ caso no es uno más negro (impar) de
blanco. No sé si hay una manera sencilla de ver ese corto de
en realidad, contando los dos números como me hizo a continuación. Me fui a la del resto de
fue, el uso del taxi de distancia del lenguaje.
Esta respuesta es para mostrar la imposibilidad en el caso de $n=4k+3,\ k\ge 0$ [El procedimiento para comer el pastel si $n=4k+1$ ya ha sido demostrado por achille hui y mencionado por MathBob.]
La idea es dividir los cubos en dos conjuntos de $E,O$ de los puntos cuya distancia en taxi desde el origen es par o impar, respectivamente. Se puede demostrar (ver más abajo) que para $n=4k+3$ hemos
$$|E|=32k^3+72k^2+54k+13,\\ |O|=32k^3+72k^2+54k+14. $$
Cada movimiento legal es de un punto en $E$ a uno en $O$, o vice-versa. El centro del cubo es en $E$, y ya que estamos, comenzar por ahí, el recorrido no puede ser ya que no hay un elemento más en la $O$ de lo que hay en $E$.
la prueba de la cuenta para $|E|,|O|.$ En el conjunto de $\{-2k-1,\cdots,2k+1\}$ de los valores disponibles para una coordenada de un punto de $(x,y,z)$ $n$- cubo (con $n=4k+3$) no se $2k+1$ números enteros y $2k+2$ enteros impares. Si $(x,y,z)$ está en incluso en taxi de distancia de $(0,0,0)$ a continuación, cualquiera de las tres coordenadas son o, incluso, más dos son impares y la tercera aún. Puesto que hay tres maneras en que el impar,par,impar caso puede ocurrir, el conde de $|E|$ es
$$|E|=(2k+1)^3+3(2k+1)(2k+2)^2,$$
que, al expandirse, es nuestra afirmó contar para $|E|.$ Por otro lado, si $(x,y,z)$ es extraño en taxi de distancia desde el origen, entonces cualquiera de las tres coordenadas son impares o más (tres formas) uno es impar y dos son incluso. Esto le da a la $|O|$ cuentan como
$$|O|=(2k+2)^3+3(2k+2)(2k+1)^2,$$
que se expande a nuestro afirmó contar para $|O|$. Como una verificación se encuentra que $|E|+|O|=(4n+3)^3.$
Nota Final: Si uno hace el cálculo anterior para el (a ser posible) caso al $n=4k+1,\ k \ge 1$, resulta que $|E|=|O|+1$, lo que significa que a partir dentro de $E$ (en el centro del cubo) esta paridad argumento no descarta una ruta de acceso. (Eso es una buena cosa, dado que las construcciones de soluciones reales en el $4k+1$ de los casos.)
