Uno puede dar una muy explícito fórmula para el exponente de $GL(n,\Bbb F_q)$, y una bastante explícita descripción de el conjunto de órdenes de elementos que pueden ocurrir.
En primer lugar, el orden de $A\in GL(n,\Bbb F_q)$ sólo depende de la mínima polinomio $f$$A$, y es igual al mínimo exponente $e>0$ tal que $X^e-1$ es divisible por $f$. Desde $A$ es invertible, el término constante de $f$ es distinto de cero, pero de lo contrario $f$ puede ser esencialmente a ser cualquier polinomio de grado en la mayoría de las $n$ $\Bbb F_q[X]$ usando compañero de matrices ("esencialmente" debido a la ampliación de una matriz con una matriz identidad de bloque puede cambiar su mínima polinomio: se convierte en el $\def\lcm{\operatorname{lcm}}\lcm$ $X-1$ y la edad mínima polinomio; sin embargo, esto no afecta el valor asociado $e$).
Así tenemos que el conjunto de órdenes de elementos $A$ es igual al conjunto de los exponentes $e$ asociado a los polinomios de grado en la mayoría de las $n$$\Bbb F_q[X]$, y el exponente de $GL(n,\Bbb F_q)$ es el menos $e>0$ que $X^e-1$ es divisible por todos los polinomios.
Sin embargo no todos los polinomios deben ser considerados. Si queremos descomponer un polinomio en pares relativamente factores primos, entonces el asociado $e$ será el mínimo común múltiplo de los números de los factores, por el teorema del resto Chino para $K[X]$. También si $f$ es irreducible de grado $d$, a continuación, los asociados exponente $e_f$ será un divisor de a $q^d-1$ (debido a $\Bbb F_q[X]/(f)$ es un campo finito de orden $q^d$), y $e_f=q^d-1$ se produce por ciertos dichos polinomios, llamados polinomios primitivos (debido a que el grupo multiplicativo de ese campo finito es cíclico). También debemos tener en cuenta los exponentes asociados a las potencias $f^i$ de polinomios irreducibles (siempre que su grado es en la mayoría de las $n$); también aquí el interesante caso será al $f$ es un polinomio primitivo.
Desde $X^{q^d-1}-1$ es el producto de todos los monic irreductible polinomios con grado dividiendo $d$, con la excepción de $X$, es divisible por $f$, pero no por $f^2$; a continuación, se deduce que el $q^{e_f}-1$, el cual es divisible por $f$ por supuesto, no es divisible por $f^2$. Decir $X^{e_f}=1+af$ $a$ no divisible por $f$. Entonces por la fórmula binominal $X^{e_fk}\not\equiv 1\pmod{f^2}$ $0<k<p$ donde $p$ es la característica de la $\Bbb F_q$, pero en el otro lado $X^{e_fp}=1+a^pf^p$ por el Frobenius endomorfismo de $\Bbb F_q[X]$. Del mismo modo $X^{e_fpk}\not\equiv 1\pmod{f^{p+1}}$$0<k<p$, pero $X^{e_fp^2}=1+a^{p^2}f^{p^2}$. Continuar como esto, se deduce que el menor exponente $e>0$ $X^e\equiv 1\pmod{f^i}$ está dado por
$$
e=e_fp^{\lceil\log_p i\rceil}
$$
que es máxima (en el multiplicativo sentido) entre polinomios irreducibles de grado $d$ al $f$ es primitivo, y a continuación se da
$$
e=(p^d-1)p^{\lceil\log_p i\rceil}
$$
El problema de encontrar todos los pedidos de elementos de $GL(n,\Bbb F_q)$ se convierte en la búsqueda de los números que se pueden expresar como el mínimo común múltiplo de una colección de dichos números $e$, cada uno, para algunos $(d,i)$, bajo la restricción de que la suma de los valores de $di=\deg(f^i)$ ser en la mayoría de las $n$ (por supuesto, todos los divisores de estos números también se producen como el orden de los elementos de $GL(n,\Bbb F_q)$). No sé de ninguna realmente transparente forma de describir a este conjunto de órdenes. En cualquier caso, como en el enlace de la pregunta indica, el hecho de que $\Bbb F_q[A]$ sólo ha $q^d-1$ cero elementos donde $d$ es el grado del polinomio mínimo de a $A$ muestra que el máximo (en el aditivo sentido) posible orden de $q^n-1$ es alcanzado por un único par $(d,i)=(n,1)$.
Sin embargo, el exponente de $GL(n,\Bbb F_q)$ puede ser explícito. La multiplicidad de $p$ es $\lceil\log_p n\rceil$, obtenido por $(d,i)=(1,n)$. El factor relativamente primer a$p$$\lcm(q-1,q^2-1,\ldots,q^n-1)$. Es conocido (véase, por ejemplo, esta pregunta) que $\gcd(q^k-1,q^l-1)=q^{\gcd(k,l)}-1$, por lo que el común de los factores a considerar aquí son los que se producen en la lista a sí mismos, y, de hecho, dados los números anteriores, el número de $q^k-1$ contribuye con el fresco factor el valor de $\Phi_k(q)$ donde $\Phi_k$ $k$- th cyclotomic polinomio. Así, finalmente, el exponente de $GL(n,\Bbb F_q)$ es igual a
$$
p^{\lceil\log_p n\rceil} \prod_{k=1}^n\Phi_k(q)
\qquad\text{donde }p\text{ es la característica de la }\Bbb F_q.
$$
Como una comprobación de validez, voy a enchufar $n=2$ a dar el exponente $p(q-1)(q+1)=p(q^2-1)$. Para $n=3$ uno se exponente $2^2(q^2-1)(q^2+q+1)$ en el carácter $2$ (de hecho, el exponente de $GL(3,\Bbb F_2)$, que tiene orden de $168$$4\times3\times7=84$) y $p(q^2-1)(q^2+q+1)$ en cualquier otra característica $p$.
