Es la curvatura de Gauss de una función de Morse?

Question

Dado un mapa de Gauss $\nu: M \rightarrow S^k$ de un orientable, compacto colector, podemos definir la forma en que el operador $S_p = -d \nu: T_p M \rightarrow T_{\nu(p)} S^k$ a ser el diferencial negativo. Definir la curvatura de Gauss $K: M \rightarrow \mathbb{R}$$K(p) = det(S_p)$.

Mi pregunta es si $K$ es una función de Morse. Decimos que una función en un colector $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ es Morse si cada punto crítico es no degenerada.

EDIT: Suponga que el $M$ no es una superficie de la constante de la curvatura de Gauss.

Mi motivación para hacer esta pregunta: soy un estudiante de estudiar homológica filtraciones de un colector por su curvatura de Gauss. Yo sé un poco de Morse teoría y tenía la esperanza de ser capaz de sacar un resultado o dos a partir de la teoría de Morse en mi proyecto.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario.

Primero un par de observaciones en el set-up: Si una orientada a $n$-colector $M$ es suavemente incrustado en algún espacio Euclidiano $E^{N}$, entonces el mapa de Gauss por lo general se refiere a la mapa enviar a un punto de $p$ $M$ a las orientadas subespacio vectorial paralelo a $T_{p}M \subset E^{N}$, considerado como un elemento de la Grassmannian orientadas $n$-planos en $E^{N}$; el Grassmannian tiene dimensión $n(N - n)$, por lo que el factor determinante es definida si y sólo si $n(N - n) = n$ (es decir, $N = n + 1$), si y sólo si $M$ es una hipersuperficie. En este caso, el mapa de Gauss puede ser visto como una toma de valores en el ámbito $S^{n}$ mediante la identificación de las orientadas hyperplane $T_{p}M \subset E^{n+1}$ con la unidad normal compatible con una orientación fija de $E^{n+1}$.

Por simplicidad, supongamos $M$ es una orientada a la superficie suavemente incrustado en $E^{3}$.

Resultados de Kazdan y Warner se dan las condiciones para una función sobre una superficie a la curvatura de Gauss de algunos métrica de Riemann. Sus 1971 encuesta de artículo en el Boletín de la AMS es una lectura de la introducción para el compacto, orientable caso, y sus 1975 papel en los Anales de las Matemáticas contiene afilado resultados. (El segundo enlace puede requerir JSTOR registro, pero una declaración de interés está en la primera página. El artículo completo se puede encontrar aquí.)

El cierre de la sección de sus 1975 documento señala que, "[Nirenberg la solución de la Weyl incrustación problema, Comunicaciones en Puras y Aplicadas Matemáticas 6 (1953) 337-394, implica que] dado cualquier liso estrictamente positivo función de $K$$S^{2}$, hay un diffeomorphism $\varphi$$S^{2}$, un compacto, estrictamente convexa superficie $\Sigma$$E^{3}$, y una conformación diffeomorphism $\psi:\Sigma \to S^{2}$ tal que $K \circ \varphi \circ \psi$ es la curvatura de Gauss de $\Sigma$."

Answer 2

Aquí es un intento, pero que está lejos de ser completa si uno decide seguir adelante con este problema aún más.

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Como el Dr. Andreas Blass ha señalado, el $ n $-esferas $ \Bbb{S}^{n} $, equipado con el estándar diferencial de las estructuras y las métricas, tener una constante positiva curvatura de Gauss, por lo que estas curvaturas no puede ser Morse funciones.

El OP fue editado luego de excluir orientado y compacto de Riemann colectores que tienen una constante de la curvatura Gaussiana. Aún así, la afirmación de que no es cierto, como vamos a demostrar.

Considerar el conocido suave incrustación $ \eta $ de los torus $ \Bbb{T}^{2} = \Bbb{S}^{1} \times \Bbb{S}^{1} $ a $ \Bbb{R}^{3} $ definido por $$ \eta \stackrel{\text{df}}{=} \left\{ \begin{matrix} \Bbb{S}^{1} \times \Bbb{S}^{1} & \to & \Bbb{R}^{3} \\ (u,v) & \mapsto & ([c + a \cos(v)] \cos(u),[c + a \cos(v)] \sin(u),a \sin(v)) \end{de la matriz} \right\}. $$ A través de esta incorporación, $ \Bbb{T}^{2} $ hereda una métrica de $ \Bbb{R}^{3} $ cuya curvatura de Gauss es dada por $$ \forall (u,v) \in \Bbb{S}^{1} \times \Bbb{S}^{1}: \quad K(u,v) = \frac{\cos(v)}{a [c + a \cos(v)]}. $$ Este es sin duda distinto de cero. Siguiente, se observa que la $$ \forall (u,v) \in \Bbb{S}^{1} \times \Bbb{S}^{1}: \quad {\nabla K}(u,v) = \left( 0,- \frac{c \pecado(v)}{a^{2} [c + a \cos(v)]^{2}} \right). $$ Por lo tanto, el conjunto de los puntos críticos es $ \Bbb{S}^{1} \times \{ 0,\pi \} $. Cada punto crítico es entonces degenerados porque el de Hesse de $ K $ puede ser fácilmente demostrado tener tres $ 0 $ entradas (debido a la falta de una dependencia de la $ u $) y es por lo tanto singular.

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Deje $ M $ ser una orientada y compacto de suaves colector. El espacio de $ \text{Met}(M) $ de Riemann métricas en $ M $ puede ser equipado con la $ C^{\infty} $-topología, lo que lo convierte en un colector de Fréchet.

Como Thomas como se ha mencionado, el conjunto de métricas cuya curvatura de Gauss es una función de Morse puede ser genérico (es decir, abierto y denso) en $ \text{Met}(M) $. Por supuesto, esto es pura especulación en el momento presente.