Ecuación funcional y puntos fijos

Question

Dejemos que $f$ sea estrictamente creciente y tal que $f(x)+f^{-1}(x)+1=e^x$ . ¿Es cierto que $f$ tiene como máximo un punto fijo?

Me han dicho que la respuesta es sí, pero tengo problemas para probarlo. Es obvio que debe tener como máximo dos, pero ¿por qué puede no ¿tiene dos?

Answer 1

Si $x$ es un punto fijo, entonces

$$x + x + 1 = e^x,$$

y esa ecuación sólo tiene dos soluciones (en $\mathbb{R}$ ), uno de ellos es $0$ .

Tenga en cuenta que como $f^{-1}$ se define en todas partes, $f$ debe ser sobreyectiva y, por tanto, continua.

Supongamos que $0$ fuera un punto fijo. Entonces, para los pequeños $x > 0$ , usted tiene $0 < f(x) < x$ ou $x < f(x)$ . Cambiar los roles de $f$ y $f^{-1}$ si es necesario, supongamos que $x < f(x)$ para $0 < x < \varepsilon$ .

Entonces la ecuación funcional implica

$$x < f(x) < e^x - 1$$

para $0 < x < \varepsilon$ . Apretar muestra que $f$ tiene un derecho derivado en $0$ y

$$D_+ f(0) = \lim_{x\downarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = 1.$$

Pero entonces $f^{-1}$ también tiene un derecho derivado en $0$ y

$$D_+ f^{-1}(0) = \frac{1}{D_+ f(0)} = 1$$

también. Pero eso significa que el derivado correcto de $g\colon x\mapsto f(x) + f^{-1}(x)$ en $0$ es $D_+ f(0) + D_+ f^{-1}(0) = 2$ que se contradice con $g(x) = e^x - 1$ de la que obtenemos

$$D_+ g(0) = g'(0) = e^0 = 1.$$

Así que $0$ no puede ser un punto fijo de $f$ .