la constante de curvatura de Riemann métrica para Traer a la superficie de la

Question

Hay un conocido y muy simétrico espacio que se llama "Traer la curva" o "Traer a la superficie", dependiendo del contexto. (Traer fue un matemático sueco en el siglo 18.) Vamos de aquí lo llaman, simplemente,$B$. En breve, estoy buscando una fórmula explícita para una constante de curvatura de Riemann métrica en $B$.

Si tratamos quintuples de los números complejos $[z_0,...,z_4]$ como la homogeneidad de las coordenadas de los puntos en el complejo proyectiva 4-espacio, a continuación, $B$ se compone de todas las soluciones de las tres ecuaciones simultáneas $\sum_i z_i=0$, $\sum_i z_i^2=0$, y $\sum_i z_i^3=0$. La primera de estas ecuaciones es lineal, cortar un proyectiva 3-espacio. La segunda ecuación nos da un quadric surface en que el 3-espacio, mientras que el tercero le da una cúbicos de superficie. Traer la curva de $B$ es la intersección de las dos superficies, que es un nonsingular sextic curva en el complejo proyectiva 3-espacio. Por lo $B$ es un complejo de $1$-colector. Ya podemos permutar las cinco coordenadas libremente, $B$ tiene al menos un $S_5$ de automorfismos, de hecho, tiene exactamente los 120 automorfismos. También podemos tomar los complejos conjugados de los cinco coordenadas; así también hay 120 antiautomorphisms.

Si podemos trabajar a través de los números reales, en lugar de sobre los complejos, a nuestro juicio, $B$ suave, orientable colector de la dimensión real de 2 y de género 4. Tiene 240 automorfismos, 120 de los cuales conservan la orientación y 120 de los cuales invertir.

Como un complejo 1-colector, Traer la curva de $B$ viene a nosotros con una conformación de la estructura. A menos que yo estoy confundida, se sigue del Teorema de Uniformización que $B$ puede ser equipado con una métrica de Riemann, compatible con la conformación de la estructura, en virtud de que su curvatura de Gauss es la constante de $-1$.

Pregunta 1: Es que la métrica única? Para ser compatible con la conformación de la estructura, nuestra única libertad es un positivo verdadero factor de aumento en cada punto. Y podría darse el caso de que la función suave dando a este factor de ampliación es determinada únicamente por el requisito de que el resultado de la curvatura Gaussiana llegar a ser en todas partes $-1$. Pero tal vez no.

Pregunta 2: sea cual Sea la respuesta a la Pregunta 1, estoy tratando de encontrar una descripción explícita de algunas constantes de la curvatura de la métrica. Si hay varios indicadores, a continuación, elija algo simple.

Si equipamos a $B$ con esa medida, se puede sentar $B$ en el plano hiperbólico, la obtención de un patrón que se repite. Dada la estructura de la automorphism grupo, podemos azulejo fundamental el dominio de ese patrón con 240 hiperbólico triángulos, cada uno de los cuales tiene el vértice de los ángulos de $\pi/5$, $\pi/4$, y $\pi/2$ --- es decir, 36, 45 y 90 grados. Vamos a llamar a los triángulos básicos "triángulos". La página http://en.wikipedia.org/wiki/Orbifold_notation#mediaviewer/File:H2checkers_245.png muestra el plano hiperbólico suelo de baldosa básica que los triángulos; pero tenga en cuenta que hay varios subconjuntos de 240 de ellos, que constituyen fundamental de dominio. El área de cada triángulo es $\pi/20$, llevando a un total área fundamental para el dominio de $12\pi$, como el de Gauss-Bonnet Teorema requiere de una superficie de género 4. Y uno de los básicos de triángulos que se pueden tomar a cualquier otro, ya sea por un automorphism, si los dos triángulos del mismo color en la imagen de arriba, o por un antiautomorphism, si son colores opuestos.

Sé explícito fórmulas, en términos de las coordenadas $[z_i]$, para los vértices y aristas de todos los de la básica triángulos, como voy a explicar en un momento. Pero eso es todo lo que he conseguido hasta ahora. Dadas las coordenadas de $[z_0,...,z_4]$ de algún punto a lo largo de una de las aristas de un triángulo básico, me gustaría ser capaz de calcular la distancia de ese punto a los dos vértices en los extremos de la arista. Por último, me gustaría calcular distancias también para los puntos en los interiores de los triángulos.

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Aquí hay más detalles, en caso de que alguien sigue leyendo.

Los 36 grados vértice de cualquier triángulo es, de hecho, el 36 grados vértice de diez básicas de triángulos. Así que hay 240/10 = 24 tales vértices, y las vamos a llamar de Tipo A. El 45 grados vértice de cualquier triángulo es el de 45 grados vértice de ocho triángulos. Así que hay 240/8 = 30, que nosotros llamaremos de Tipo B. Y el de 90 grados en el vértice de cualquier triángulo es de 90 grados en el vértice de los cuatro triángulos. Así que hay 240/4 = 60, que nosotros llamaremos de Tipo C.

El papel de "Traer a la curva", por W. L. Borde, publicado en el volumen 2-18 de la Revista de la Londres de Matemáticas. La sociedad en 1978, páginas 539-545, da fórmulas explícitas para las coordenadas de varios de estos vértices. Para los vértices de Tipo a, no $\epsilon:=e^{2 \pi i/5}$ ser una primitiva de la quinta raíz de la unidad y, a continuación, libremente permutar estas coordenadas: $$[1, \epsilon, \epsilon^2, \epsilon^3, \epsilon^4].$$ Hay 120 maneras de permutar los cinco coordenadas, por supuesto, pero la homogeneidad de las coordenadas significa que podemos multiplicar por cualquier número complejo distinto de cero, y multiplicar por potencias de $\epsilon$ pone los 120 permutaciones en grupos de tamaño 5, de los cuales debe ser de 24.

Los vértices de Tipo B, el resultado de libremente permuting las coordenadas: $$[0, 1, i, -1, -i].$$ De nuevo, hay 120 maneras para permutar esas coordenadas, pero multiplicando por ningún poder de $i$ pone en grupos de tamaño 4, de los cuales debe ser de 30.

Los vértices de Tipo C son un poco más complicadas. Vamos $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$ denotar las tres raíces del polinomio cúbico $z^3+2z^2+3z+4$. Entonces, el Tipo C los vértices resultado de permuting las coordenadas: $$[1, 1, \alpha, \beta, \gamma].$$ Los 120 permutaciones vienen en pares que difieren sólo en el intercambio de las dos copias de 1; por lo tanto obtenemos precisamente el 60 vértices de Tipo C.

Ahora, estos vértices se encuentran a lo largo de varias líneas hiperbólicas. Vamos a referirnos a los bordes de un triángulo básico como de Tipo a, tipo b o Tipo c, donde el borde de Tipo a es opuesto al vértice de Tipo a, y así sucesivamente. De modo que los bordes de Tipo c son las hipotenusas de sus triángulos, los de Tipo b son las piernas largas, y las de Tipo a son las piernas más cortas.

En el resultado de baldosas, hay líneas de dos tipos, digamos de Tipo 1 y de Tipo 2. Una línea de Tipo 1 se pasa a través de los vértices en el patrón de $(A B A C)^4$. Así que pasa a través de los ocho vértices de Tipo a, cuatro de Tipo B, y cuatro de Tipo C. En el proceso, que se desplaza a lo largo de ocho bordes de Tipo c y ocho de Tipo b, en el patrón de repetición $(c c b b)^4$. Así que debe de ser de 15 líneas de Tipo 1, que viajan a lo largo de un total de 120 bordes de Tipo c y 120 de Tipo b --- cada borde actuando como una ventaja para dos de los 240 básicas de triángulos.

Una línea de Tipo 2 pasa a través de los vértices en el patrón de $(B C)^6$. En el proceso, que se desplaza a lo largo de doce aristas, todas de Tipo. Así que debe de ser de 10 líneas de Tipo 2, que viajan a lo largo de los 120 bordes de Tipo.

Las fórmulas de estas líneas debe implicar algo más allá de la aritmética compleja, y algo adicional es compleja conjugación. Vamos a considerar las líneas de Tipo 2 en primer lugar. Uno de esos línea consiste de todos los puntos para los que $[z_0,...,z_4]$ coincide, de manera homogénea, con $[\bar z_1,\bar z_0,\bar z_2,\bar z_3,\bar z_4]$. Es decir, podemos cambiar las dos primeras coordenadas y se conjuga todas las cinco coordenadas. Si ese proceso combinado nos deja donde empezamos, de manera homogénea, entonces el punto donde empezamos radica en nuestro ejemplo actual de una línea de Tipo 2, a los que podríamos llamar "el (0,1) de la línea de Tipo 2". Las diez líneas de Tipo 2 son determinados por los diez maneras de elegir cual de las dos coordenadas para intercambiar.

Líneas de Tipo 1 son similares, pero cambiamos de dos pares de coordenadas, en lugar de sólo uno. Hay quince maneras de elegir dos pares separados de coordenadas para swap, y esas decisiones dan lugar a las quince líneas de Tipo 1.

A medida que nos movemos a lo largo de cualquier línea de cualquier tipo, considerar la relación $r:=z_i/z_j$, para algunos fija los índices de $i$$j$. La relación de $r$ mueve a lo largo de uno de los cinco curvas algebraicas en el plano complejo, que dependiendo de cómo los índices de $i$ $j$ se refieren a los pares de coordenadas que obtener intercambiado -- un solo par de una línea de Tipo 2 o de dos pares para una línea de Tipo 1. Las cinco curvas resultantes de los grados 1, 2, 3, 6, y 12, y que podría ser útil para estudiar la forma en que cortar la esfera de Riemann.

Pero esas curvas, junto con el resto de la estructura discutido hasta ahora, se ven obligados por la forma en la automorfismos se comportan en $B$. Es la totalidad de la constante de la curvatura de la métrica también forzado? Y, si es así, ¿cómo?

Answer 1

Pregunta 1: La constante de la curvatura de la métrica en la $B$ es único. Para ver esto, observe que equipar $B$ con cualquier métrica de curvatura constante $-1$ nos da un biholomorphim (aka una conformación isomorfismo) entre el universal que cubre la superficie de $B$ y el disco unidad en el plano complejo. La combinación de dos de estas métricas nos daría un biholomorphism desde el disco a sí mismo. Pero el único biholomorphims, por la singularidad parte del Mapeo de Riemann Teorema, son las transformaciones de Möbius que preservar el disco, y todos los que son isometrías hiperbólicas. Así que la métrica que nos llevamos $B$ está determinada únicamente.

Pregunta 2 -- un inicio a una respuesta: parece que obtener una fórmula explícita para la única constante de la curvatura de la métrica en la $B$ es en realidad un problema en conformal mapping; así Schwarz-Christoffel transformaciones y el como será probablemente involucrados.

Comenzamos por encontrar algún mapa de conformación de$B$$\Bbb{CP}^1$. La imagen, en ese mapa, de cualquiera de los "básicos triángulos" en la $B$ será un triángulo curvilíneo en el plano complejo, con 36, 45, y ángulos de 90 grados. Nuestro desafío es, entonces, va a ser el mapa de ese triángulo, conformemente a un hiperbólico triángulo con los ángulos, visto como un triángulo curvilíneo en el modelo de Poincaré del plano hiperbólico. Dado un mapa de conformación, podemos, a continuación, tire de la métrica hiperbólica de regreso a lo básico triángulo de $B$ empezamos, y a continuación, se replican por simetría con el resto de $B$.

Una forma de obtener un mapa de $B$ $\Bbb{CP}^1$fue sugerida al final de la publicación original. Dado un punto de $[z_0,...,z_4]$$B$, podemos simplemente el mapa a la relación de unos dos coordenadas, dicen que la relación de $z_1 / z_0$. El resultado se da cuenta de $B$ como una de las seis sábana que cubre de la esfera de Riemann, con un montón de orden-2 puntos de ramificación. Aquí está una foto:

Los puntos rojos son las imágenes, en virtud de la coordenada-relación de mapa, de los vértices de Tipo a; los puntos verdes son de Tipo B; y los puntos azules son las de Tipo C. (el punto en El infinito es un punto verde.) Y las curvas que se muestran son las imágenes de las líneas de Tipo 1 y de Tipo 2. La esfera de Riemann se divide por tanto en $240/6=40$ curvilíneo triángulos, cada uno con vértice ángulos de 36, 45 y 90 grados, a excepción de que seis de los puntos azules son las imágenes de los puntos de ramificación de orden 2, por lo que los ángulos de 90 grados en los vértices se han ampliado, a 180 grados de los ángulos. Como se comentó al final de la publicación original, las curvas que componen esta foto son de grados 1, 2, 3, 6, y 12. Las curvas de grados 1 y 12 se llevan en sí mismos por la inversión en el círculo unidad, que es la curva de grado 2. Las curvas de grados 3 y 6 son intercambiados por que de la inversión.

El problema que queda entonces sería tomar uno de esos triángulos curvilíneos y mapa conformemente a uno de los triángulos en la hiperbólica-plano de la imagen. No estoy seguro de lo difícil que será. Tenga en cuenta que al menos uno de los bordes del triángulo de partida va a ser una curva de grado al menos 3, mientras que los tres bordes del destino triángulo será líneas rectas o círculos. Por lo que tomará algo de trabajo para obtener un mapa de conformación, como no debería ser sorprendente.

Olivier Bégassat ha sugerido otro mapa de$B$$\Bbb{CP}^1$, un mapa que bien puede trabajar mejor que el de coordinar la relación de mapa que se discutieron anteriormente. Bégassat del mapa se da cuenta de $B$ 120 sábana que cubre de la esfera de Riemann, con los puntos de ramificación de órdenes 2, 4 y 5. Así que la imagen de $B$ bajo su mapa se compone de sólo dos triángulos, uno llenando toda la mitad superior del plano -, la otra a la mitad inferior del plano -. Todos los vértices de Un Tipo de mapa a la de origen, todos los de Tipo B mapa hasta el infinito, y todos los de Tipo C mapa en el número real $-3125/256$; y todas las líneas de los Tipos 1 y 2 mapa de las porciones del eje real.

El uso de Bégassat del mapa, el único problema que queda es obtener un mapa de conformación de una base de triángulo en la de Poincaré plano hiperbólico a la mitad superior del plano -, o, de manera equivalente, a la unidad de disco. Desde el Poincaré triángulo tiene al menos un borde curvado, esto no se puede hacer con la mayoría de los estándares sabor de Schwarz-Christoffel de asignación. Pero el problema parece bastante claro que probablemente ha sido resuelto en la literatura sobre la conformación de la cartografía.