Espacio vectorial de las Estructuras de más de ($\mathbb{R}$,+)

Question

Considerar el grupo abelian ($\mathbb{R}$,+) de números reales con la costumbre de la adición. Hay una multiplicación escalar $$\begin{equation} \cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \end{equation}$$ otro de los habituales de la multiplicación, lo que hace que ($\mathbb{R}$,+,$\cdot$) un verdadero espacio vectorial?

Answer 1

Nos deja denotar por $m \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la multiplicación que está buscando y se supone que $(\mathbb{R}, +, m)$ es un espacio vectorial real. Suponiendo que el axioma de elección, todo espacio vectorial tiene una base y así debe haber un isomorfismo de espacios vectoriales reales $\varphi \colon (\bigoplus_{i \in I} \mathbb{R}, +, \cdot) \rightarrow (\mathbb{R}, +, m)$. Entonces

$$\varphi(\alpha \cdot v) = m(\alpha, \varphi(v))$$

y así la multiplicación escalar está dada por

$$m(\alpha, x) = \varphi(\alpha \cdot \varphi^{-1}(x)).$$

Ahora, podemos tratar y revertir este proceso. Deje $\varphi \colon (\mathbb{R}^2, +) \rightarrow (\mathbb{R}, +)$ ser un isomorfismo de abelian grupos (ver esta respuesta) y definir un producto escalar en $\mathbb{R}$ por la fórmula

$$m(\alpha, x) = \varphi(\alpha \cdot \varphi^{-1}(x))$$

donde $\cdot$ es el estándar de la multiplicación escalar $\cdot \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Intuitivamente, estamos trasladando el estándar de la multiplicación escalar en $(\mathbb{R}^2, +, \cdot)$$(\mathbb{R}, +)$$\varphi$. Usted puede comprobar fácilmente que $m$ cumple las cuatro axiomas para ser un producto escalar. Por último, si $m(\alpha, x) = \alpha x$

$$\alpha x = \varphi(\alpha \cdot \varphi^{-1}(x)) \implies \varphi^{-1}(\alpha x)= \alpha \cdot \varphi^{-1}(x)$$

por lo $m$ es el estándar de la multiplicación si y sólo si $\varphi^{-1}$ es no sólo un aditivo isomorfismo pero también un isomorfismo de espacios vectoriales. Esto no es posible para la dimensión razones para este hecho define un vector diferente estructura de espacio en $(\mathbb{R}, +)$ y todas las estructuras que vienen de esta construcción. Usted también puede tomar un aditivo no lineal isomorfismo $\varphi \colon (\mathbb{R}, +) \rightarrow (\mathbb{R}, +)$ y se aplican a la construcción de usar esta $\varphi$. En cualquier caso, después de realizar la construcción del aditivo isomorfismo $\varphi$ se convierte, por definición, un isomorfismo de espacios vectoriales reales.