Computación $\sum_{m \neq n} \frac{1}{n^2-m^2}$

Question

Una serie que surgen en la teoría de la perturbación en la mecánica cuántica:

$\sum_{m\neq n} \frac{1}{n^2 - m^2}$ donde $n$ es un hecho positivo entero impar y $m$ corre a través de todos los impares enteros positivos diferentes de $n$. Tengo una corazonada de que los métodos son aplicables aquí, pero no sé el análisis complejo.

Answer 1

Usted puede escribir

$$ \frac{1}{n^2 m^2} = \frac{1}{2n} \left\lbrace \frac{1}{m+n} - \frac{1}{m n} \right\rbrace . \quad (1)$$

Ahora si sumamos ambos lados encima de todos los impares $m \ne n ,$ teniendo en cuenta que el $n$ es impar, un montón de cancelación pasa y obtenemos

$$\sum_{m \ne n} \frac{1}{n^2 - m^2} = -\frac{1}{4n^2}.$$

A primera vista parece que la cotangente de identidad podría ser útil, pero no es realmente necesario.

Como un numérica de verificación intentar sumar los siguientes con wolframAlpha

$$1/24 + 1/16 + \sum_{k=3}^\infty 1/(5^2 - (2k+1)^2),$$

usted verá que es $-1/100,$ como se esperaba.

O probar esto:

$$1/48 + 1/40 + 1/24 + \sum_{k=4}^\infty 1/(7^2 - (2k+1)^2).$$

Usted recibirá $-1/196.$

EDIT: Para aclarar la cancelación de tomar lugar cuando se suma la RHS de $(1).$

Tenemos

$$\sum_{m \ne n, \,\, m \textrm{ impar} } \left\lbrace \frac{1}{m+n} - \frac{1}{m n} \right\rbrace = \sum_{m \ne n, \,\, m \textrm{ impar} } \left\lbrace \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m} \right\rbrace $$

$$= \left\lbrace \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} \right) + \left( \frac{1}{n+3} + \frac{1}{n-3} \right) + \left( \frac{1}{n+5} + \frac{1}{n-5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-2} + \frac{1}{2} \right) \right\rbrace $$

$$+ \left( \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2n+4} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2n+6} - \frac{1}{6} \right) + \cdots $$

y reorganización de todos los términos en los soportes

$$= \left\lbrace \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n-2} \right\rbrace + \left( \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2n+4} - \frac{1}{4} \right) + \cdots $$

$$=\left\lbrace \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n-2} \right\rbrace - \left\lbrace \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n} \right\rbrace = - \frac{1}{2n}$$

y de ahí el resultado.

Answer 2

El uso de la cotangente identidad al final de la página.

Hay varias maneras para obtener esa identidad, algunos de uso de residuos, con excepción de Euler fórmula del producto para el seno.

EDIT: Entonces, tenemos la identidad:

$$\frac{\pi z \cot (\pi z) - 1}{2z^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{z^2-m^2}$$

Ahora, queremos calcular la suma de $\sum_{n\neq m} \frac{1}{n^2-m^2}$, de modo que la reescritura de la identidad de la siguiente manera:

$$\sum_{\substack{m=1, \\ n\neq m}}^{\infty} \frac{1}{z^2-m^2} = \frac{\pi z \cot (\pi z) - 1}{2z^2} - \frac{1}{z^2-n^2}$$

Y tomamos el límite de $z \to n$ para ambos lados para obtener la suma deseada.

EDIT 2: Después de algún trabajo de reorganización, llegué a la siguiente identidad

$$-\frac{\pi \tan \left(\pi \frac{z}{2}\right)}{4z} = \sum_{n \; odd} \frac{1}{z^2-n^2}$$

que puede ser utilizado a lo largo de las líneas se explica en la edición anterior.