Creo que hay más que se encuentran sobre este tema. Hay muchas maneras diferentes para definir fraccional de derivadas e integrales. No sé si estos provienen de cualquier profundidad, hechos fundamentales, pero, sin duda, como una generalización de diversas fórmulas. Otra forma de pensar sobre el tema, se muestra una lista de aplicaciones o trucos que implica cierta transformadas integrales, casualidad se llama "fracciones de derivados". Pero vamos a pensar acerca de claro generalizaciones de integración y diferenciación.
Por ejemplo, no es, de hecho, la fórmula de Cauchy de la generalización deuso de
$$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(an)}{(w-z)^{n+1}} dz,$$
pero hay muchos más. Se sabe que para un entero $n$ que
$$\int_a^x \int_a^{x_1} \cdots \int_a^{x_{n-1}} f(x_n)d x_n = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x (x-t)^{n-1}f(t)dx,$$
donde hemos integrado en la izquierda $$ n veces. Aquí se podría sustituir fraccional $q$ para $n$ y la función gamma para el factorial para definir una fracción integral. Es decir,
$$I^p f(x) = \frac{1}{\Gamma(q)} \int_a^x (x-t)^{p-1} f(t) dt.$$
Tenga en cuenta que esta integral no puede converger para negativo de $p$. Por lo tanto, para las fracciones de los derivados, tenemos dos opciones. Si dejamos a $I^p$ los $q$ésimo orden integral operador y $D$ el regular la diferenciación operador, luego de un determinado $q>0$ y entero $n>p$, podríamos definir
$$D^qf = D^{n}^{n-q} f,$$
la cual es conocida como la de Riemann-Liouville definición, o en el orden inverso
$$D^qf = I^{n-q} D^n f,$$
que se conoce como el Caputo definición. Pero hay más! Por una inducción argumento, uno puede fácilmente demostrar que
$$f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^n} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \elegir k} f(x-kh).$$
Podemos generalizar mediante la sustitución de $n$ con fracciones de $p$ y cambiar el límite superior $\infty$ para obtener
$$f^{(p)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^p} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k {q \elegir k} f(x-kh)$$
donde ${q \elegir k}$ se define como de costumbre. O, podemos pensar en términos de la función gamma: ${q \elegir k} = \frac{\Gamma(q+1)}{\Gamma(p-k+1) \Gamma(k+1)}$. Sorprendentemente, resulta que podemos desarrollar una fórmula similar utilizando las sumas de Riemann en una serie de repetidos integrales. Es complicar las cosas un poco, pero esto significa que la integración y la diferenciación pueden ser unidas en una sola fórmula. Este es el Grunwald-Letnikov definición.
Aún más! Si sabemos algo acerca de la serie de Fourier, la original repetido integral generalización no es la gran sorpresa, ya que esencialmente se ve como una convolución. sabemos que las transformadas de Laplace y Fourier transforma su vez la diferenciación y la integración en la multiplicación o la división en $s$. Así también podemos definir algo como
$$D^p f(t) = F^{-1}[k^p F[f(t)]]$$
o
$$D^p f(t) = L^{-1}[s^q L[f(t)]].$$
Estas son las transformadas de Fourier y de Laplace generalizaciones. Creo que la mayoría de la gente, si hay que adivinar una generalización, iba a recoger a estos.
Algunas de estas definiciones son equivalentes, algunos son diferentes, algunos casi de la misma hasta molestos detalles. Por ejemplo, la definición de la integral de Liouville definición es la misma que la Grunweld-Letnikov definición. Yo sé de una prueba en Oldham y Spanier del libro. Aún hay mucho que pensar. Queremos ver cómo muchas de las tradiciones de cálculo todavía se aplican normas. He visto algunos de los nuevos papeles en Arxiv sobre fracciones de cálculo. Uno es una prueba de que el Leibniz de la regla de nunca podrá. Otra es que al parecer la nueva definición de fracciones de diffointegral operador vi mencionado en este documento.
¿Hay alguna definición natural de la fracción de cálculo? La función Gamma, se utiliza en varias de estas definiciones, es en sí mismo uno de los muchos (teórico) generalizaciones de la función factorial. Podríamos hacer la misma pregunta para ello, excepto, la función Gamma es la única de registro de función convexa que oportunamente se generaliza la función factorial. Este es el resultado de la Bohr Mollerup teorema. Así que una pregunta similar sería, tiene alguno de venir para arriba con un adecuado, razonable, restricción en una fracción integral operador que es único? No sé. Tal vez algunos de los resultados que se han mostrado, pero no he sido consciente de ellos.
Así que mi intuitiva comprensión del tema es este. Queremos entender de todas las definiciones posibles de la fracción de derivados y que desee considerar qué propiedades tienen o no tienen, en comparación con los tradicionales de cálculo. Es cierto que fraccional derivados tendrá sentido sólo para algunas clases de funciones, como en el caso de la transformada de Fourier, por lo que puede ser de un contexto específico.
He oído decir de los modelos de uso de fracciones de cálculo de los materiales con fracciones de dimensiones. También he visto un documento de la generalización de la segunda ley de Newton, no con el real consecuencia física, pero por el bien de ver lo que la matemática es. Pero mi impresión es que algunos modelos se realiza. Lo que es cierto es que las personas son el estudio de fracciones de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones tales como la fracción de la difusión de la ecuación de onda (que une el calor y la ecuación de onda a través de una fracción de tiempo derivativo) y la fracción de ecuación de schroedinger que tiene un fraccional espaciales derivados. Así que tenemos algo interesante ecuaciones a resolver, lo cual es bueno, pero también creo que hay un mundo de función identidades para calcular con fracciones de los derivados de la participación de todos tipo de funciones especiales cuando uno se sienta a calcular las cosas. (Para una diversión resultado, la lineal fraccional de la ecuación diferencial $y^{(\pi)}+y=0$, usando la definición correcta, tiene un número infinito de soluciones linealmente independientes!)
