$C[0,1]$ es completa w.r.t. que norma(s)

Question

$C[0,1]$ es completa w.r.t. que norma(s)

1. $\displaystyle\|f\|_\infty=\sup_{t\in[0,1]}|f(t)|$

2. $\displaystyle\|f\|_1=\int_0^1|f(t)| \, dt$

3. $\displaystyle\|f\|_\infty^{0,1}=\|f\|_\infty+|f(0)|+|f(1)|$

4. $\displaystyle\|f\|=\sqrt{\int_0^1|f(t)| \, dt}$

Sé que 1 es verdadera. Pero no sé cómo comprobar la integridad de la norma base del conocimiento completo de la norma. ¿Cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

Norma $1$ $3$ son equivalentes, por lo $C[0,1]$ es también completo en la norma $3$.

$||f||_{\infty}^{0,1}=||f||_{\infty}+|f(0)|+|f(1)|\le 3||f||_{\infty}$