sustituto de la Serre de la torsión cuando la "tergiversación", es exterior

Question

¿Alguien sabe si hay algo de lo que puede ser dicho (idealmente bajo en la mayoría de los muy leve hipótesis) en el grupo cohomology (vamos a restringir a grado 1) que es similar a la Serre de la torsión, pero en el caso de que la cosa que usted desea giro no es interior? No estoy esperando la declaración de celebrar palabra-por-palabra, sólo que hay algunos generales y razonablemente nítidas relación entre el original cohomology conjunto y el trenzado. Gracias!

Edición en respuesta a Chris Schommer-Pries:

Una discusión completa de Serre de la torsión se puede encontrar en la sección 5.3 de su libro "Galois Cohomology". Es a la vez un "proceso" y una proposición supongo. Se va como sigue. Inicio con un grupo de $G$ y una (no necesariamente abelian) grupo $A$ que $G$ actos, y la forma de la punta de establecer $H^1(G,A)$. Ahora elija un $1$-cocycle $c \in H^1(G,A)$. Deje $A_c$ denotar el mismo resumen de grupo $A$, pero ahora tiene el "$c$-twisted" acción definidas por $g*a = c(g) \cdot (g \cdot a) \cdot c(g)^{-1} $ (el 1 y el 3 $\cdot$ son operaciones en las $A$ y el 2 $\cdot$ es la acción original de $G$). Ese es el "proceso". La proposición (cf. La proposición 35 bis en el libro) es que el $d \mapsto d \cdot c $ (producto de funciones) induce un bijection de punta conjuntos de $ H^1(G,A_c) \cong H^1(G,A)$ (tenga en cuenta que el primer conjunto tiene un diferente punto de base de la segunda). Se utiliza con frecuencia para mostrar que algunas "monomorphism de punta conjuntos" es en realidad como una función inyectiva.

Edición en respuesta a Mariano Suárez-Alvarez:

Por el "interior" de arriba me refiero al hecho de que, en Serre torsión, la acción de la $G$ $A$ fue modificada por la conjugación de un elemento de $A$. Por "exterior", me refiero al caso en el que en lugar sustituye la acción por $g*a = f(g)( g \cdot a ) $ donde $f : G \rightarrow Aut( A )$ es una prescrito cocycle ($Aut( A )$ tiene el conjgation acción mediante la acción original de $G$$A$).

Answer 1

La respuesta corta es que no hay mucho que decir acerca de la relación entre el $H^1(G, B)$ y una vuelta de tuerca $H^1(G, B_c)$ donde $c$ es un cocycle tomando valores en $Aut(B)$. (Voy a escribir $B_c$ para el giro en lugar de Serre la notación $_cB$ por el bien de fácil composición.) Usted puede obtener una buena idea de lo que es posible sumergirse en las secciones I. 5.7 y III.1.4 de Serre de Galois Cohomology.

Sección I. 5.7

Una cosa que usted puede hacer, como se muestra en I. 5.7-que es la torcedura de los tres términos en una breve secuencia exacta de $G$-módulos y obtener un nuevo corto de la secuencia exacta, suponiendo que el evidente la compatibilidad de las condiciones de sostener. Serre se inicia con una secuencia exacta

$1 \to A \to B \to C \to 1$

donde $A$ es asumido central en $B$. A continuación, se corrige un 1-cocycle $c$ con valores en $C$ y giros para obtener una secuencia exacta

$1 \to A \to B_c \to C_c \to 1$.

Tenga en cuenta que este giro $B_c$ es no un interior de giro de $B$, debido a $c$ no necesitan estar en la imagen de $H^1(G, B) \to H^1(G, C)$.

Esto puede parecer un cojo ejemplo, en que el giro de $B$ está "muy cerca" de ser interior. Pero ya están aquí usted no tiene ninguno de los resultados con respecto a una conexión entre el$H^1(G, B)$$H^1(G, B_c)$. Eso es bastante aproximada de la declaración; Serre dice tanto como usted puede decir con precisión en la Observación 1: "es, en general, falso que $H^1(G, B_c)$ es en bijective correspondencia con $H^1(G, B)$."

La sección III.1.4

En esta sección se analiza su pregunta para el caso específico donde $G$ es la absoluta grupo de Galois de un campo de $k$ $B$ es el grupo de $n$a$n$ matrices de determinante 1 con entradas en un separables cierre de $k$. Serre explica lo que se obtiene como $B_c$ cuando gire $B$ por un cocycle con valores en $Aut(B)$. Usted puede conseguir, por ejemplo, un especial grupo unitario.

Usted puede encontrar descripciones explícitas de $H^1(G, B_c)$ algunos $B_c$'s en El Libro de Involuciones, páginas 393 (Cor. 29.4) y 404 (cuadro en medio de la página). Tenga en cuenta que para $B_c$ como en la Sección I. 5.7, $H^1(G, B_c)$ es un grupo (una bonita casualidad), pero en el caso de que usted obtener un verdadero especiales grupo unitario, $H^1(G, B_c)$ no tiene una razonable estructura de grupo-es sólo la punta de establecer como se espera.