qué $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\zeta(1+\frac{1}{n})}$ divergen o convergen?

Question

Estoy preguntando, porque tests numéricos parecen dar respuestas sin sentido, y yo pensaba que iba a comprobar si había una analítica de comprobar la divergencia, pero yo no podía pensar en uno con la guardia baja.

Answer 1

$(s-1)\zeta(s) = 1 + a(s-1) + b(s-1)^2 + \dots$ es analítica cerca de $1$ (de hecho todo, pero no es necesario que para este problema).

Para $s=1+1/n$ esto da $\zeta(1+1/n)=n + a + b/n + \dots =n + O(1)$, por lo que la suma diverge.

Answer 2

Usted podría utilizar una integral de comparación para obtener un límite en $\zeta(1+1/n)$:

$$\zeta(1+1/n)\lt 1+\int_1^\infty x^{-1-\frac{1}{n}}=1+n.$$

Más generalmente, si $0\lt a\lt 1$, luego

$$\frac{1}{a}=\int_1^\infty x^{-1-a}\lt\zeta(1+a)\lt1+\int_1^\infty x^{-1-a}=1+\frac{1}{a}<\frac{2}{a}.$$

Por lo tanto si $a_1,a_2,\ldots$ es una secuencia de números positivos convergente a $0$, luego $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\zeta(1+a_n)}$ converge si y sólo si $\sum_{n=1}^\infty a_n$.