Hace varios años vi este problema y descubrí una solución para ello. Desde entonces he aprendido una solución algo más eficiente basada en la misma idea.
Llama a un rectángulo en el $(x,y)$ plano racional si tiene lados paralelos a los ejes y al menos una de sus longitudes laterales es racional. Supongamos que $R$ es un rectángulo que se puede diseccionar en una colección finita de rectángulos racionales (es decir, que cubren y se cruzan sólo en sus límites). Mostrar $R$ es racional.
La solución bastante elegante (no es mía, pero sí parecida) a este problema es la siguiente. En primer lugar, hay que escalar toda la imagen por el mínimo común denominador de todas las longitudes laterales racionales, de modo que cada rectángulo de la disección tenga una longitud lateral entera. A continuación, integre $\sin{(2 \pi x)} \sin{(2 \pi y)}$ en $R$ . A través de la disección, la integral es claramente $0$ y por lo tanto $R$ debe ser racional. Lo único que necesita esta prueba es el teorema fundamental del cálculo y la antiderivada de $\sin$ .
Durante bastante tiempo, estuve satisfecho con esta solución. La maquinaria de la integral tiene sorprendentemente todas las herramientas necesarias para demostrarlo. Pero ahora quiero entender qué es lo que hace que esta prueba funcione.
He intentado descomponer esta prueba en una secuencia de afirmaciones sencillas, pero me parece que siempre se complica. Por lo tanto, pregunto, ¿hay una manera de simplificar este argumento y al mismo tiempo evitar el cálculo (con un argumento similar a éste, no uno totalmente nuevo)? ¿Existe una manera de desempacar algunas de las definiciones para hacer este argumento más transparente?
