Teorema de Zhang y conjetura de Polignac

Question

Yitang Zhang hizo un descubrimiento innovador cuando demostró que existen infinitos pares de números primos que difieren en menos de $70,000,000$ .

El teorema de Zhang se ha mejorado considerablemente y, según la página web del proyecto Polymath8 ( http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes ), el mejor límite incondicional hasta la fecha es $246$ .

Supongamos que el límite se reduce lo suficiente como para demostrar la conjetura del primo gemelo. Si esto ocurre, se habrá resuelto uno de los más famosos problemas no resueltos de las matemáticas. ¿Pero qué pasará con la conjetura de Polignac?

La conjetura de Polignac afirma que para cada entero positivo $n$ hay infinitos pares de números primos cuya diferencia es $2n$ . Así pues, como la conjetura de los primos gemelos no es más que un caso particular de la conjetura de Polignac, demostrar la primera no implica que la segunda sea cierta.

Sé que probablemente ahora muchos matemáticos están tratando de bajar el límite lo suficiente como para demostrar la conjetura de los primos gemelos. Pero, ¿se está avanzando hacia la solución de la conjetura de Polignac? ¿Pueden utilizarse el descubrimiento de Zhang y sus técnicas para avanzar hacia la solución de la conjetura de Polignac, o debería hacerse otro descubrimiento innovador? ¿Está ahora la conjetura de Polignac más cerca de ser demostrada o sigue estando "fuera de alcance"?

Answer 1

Zhang demostró que cualquier conjunto admisible de $k_0=3\,500\,000$ (o más) números contiene algunos $a,b$ tal que $n+a$ y $n+b$ son ambos primos con una frecuencia infinita. Existe un conjunto admisible de este tamaño con valores entre 0 y 70.000.000, de ahí la afirmación de que hay infinitos huecos primos con un máximo de 70 millones.

El mejor valor demostrado para $k_0$ hasta ahora es 50, lo que lleva a la brecha de 246 a través de la tupla admisible (0, 4, 6, 16, 30, 34, 36, 46, 48, 58, 60, 64, 70, 78, 84, 88, 90, 94, 100, 106, 108, 114, 118, 126, 130, 136, 144, 148, 150, 156, 160, 168, 174, 178, 184, 190, 196, 198, 204, 210, 214, 216, 220, 226, 228, 234, 238, 240, 244, 246).

Pero si quisieras podrías elegir una tupla diferente que demostrara, por ejemplo, que hay infinitos huecos primos en un rango diferente. Por ejemplo, la tupla admisible 50 (0, 4, 10, 16, 22, 30, 34, 42, 46, 52, 60, 64, 70, 76, 84, 90, 94, 100, 106, 112, 126, 130, 136, 142, 150, 154, 160, 172, 184, 192, 202, 210, 214, 220, 226, 232, 240, 244, 252, 262, 270, 276, 280, 286, 294, 312, 316, 324, 330, 336) demuestra que existen infinitos huecos primos de longitudes comprendidas entre 4 y 336 (inclusive). *

Así pues, si los métodos actuales se ampliaran para demostrar la conjetura de los primos gemelos, se demostraría automáticamente la conjetura de Polignac. Tal vez sea demasiado esperar, ya que el proyecto Polymath ha cambiado su metodología de forma significativa en el transcurso de sus varios meses de funcionamiento. Pero sirve para demostrar que la conjetura de Polignac no está lejos de la conjetura de los primos gemelos.

Una pregunta razonable, entonces, es "¿puede el método de Zhang ampliarse tanto?". Por el momento la respuesta parece ser "no": incluso en el supuesto de la conjetura generalizada de Elliott-Halberstam, lo mejor que se ha conseguido es $k_0=3$ lo que significa (a través de la terna (0, 2, 6)) que al menos uno de los primos gemelos, primos primos y primos sexy tiene infinitos miembros. Pero incluso con esa suposición de gran potencia no podemos reducirlo más.

* Del mismo modo puedo demostrar que hay infinitos espacios primos entre el 6 y el 378, entre el 8 y el 502, entre el 10 y el 616, entre el 12 y el 678, y así sucesivamente. En GEH lo mejor que puedes hacer es $g$ a $2g$ si $3|g$ o $g$ a $2g+2$ de lo contrario.