Supongamos que tengo un conjunto múltiple $S$ de los números complejos. Bajo qué condiciones hay una función de meromorphic $f$ cuyos ceros son precisamente los elementos de $S$, y tienen las mismas multiplicidades?
Sé que $S$ debe ser un conjunto discreto (a menos que es todo el plano complejo con infinita multiplicidad, para que $f(x) = 0$ $S$ como su conjunto múltiple de ceros), pero hasta donde yo sé, no existen otras condiciones.
Si usted tiene un discreto cerrado conjunto con los no-cero racionales enteros asociados a ellos, usted puede encontrar una función de meromorphic con los ceros y los polos dictadas por su enteros.
Tendrá ceros exactamente en los puntos con números enteros positivos con la multiplicidad y polos en los puntos con números enteros negativos, de nuevo con el derecho de la multiplicidad. Este es el Weierstrass/Mittag-Leffler teorema.
El mismo resultado es cierto en mucho mayor generalidad: Dado cualquier divisor de cualquier no-compacto de superficie de Riemann, existe una función de meromorphic cuyo divisor es el dado por uno.
Hay generalizaciones mayores dimensiones de los colectores, pero esto nos llevaría demasiado lejos. Baste decir que la palabra clave es Stein colector.
Con la salvedad de que Un error común es que el concepto correcto en esas preguntas es discreto subconjunto de $\mathbb C$. Sin embargo, es indispensable agregar cerrado. Es claramente imposible, por ejemplo, para encontrar un holomorphic (o meromorphic) de la función en $\mathbb C$ que se desvanece exactamente en $1,1/2,1/3,1/4,...$
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