Función $f: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+$ que es eventualmente mayor que $x^{x^{x^{...^{x^x}}}}$

Question

Para cada uno $n$ define $f_n: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+$ por $f_n(x) = \underbrace {x^{x^{x^{...^{x^x}}}}}_n$

Quiero encontrar una función $f: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+$ de tal manera que para cualquier $n$ , $f$ es finalmente mayor que $f_n$ .

Aquí $ \mathbb R^+$ significa los reales no negativos.

Answer 1

Para hacer la notación más suave, escribe $f(n,x)$ para $f_n(x)$ . Deje que $$f(x)=f( \lceil x \rceil , x).$$ Aquí $ \lceil x \rceil $ es la función de "techo" que da el entero más pequeño $ \ge x$ .

Observación: Este es un típico argumento de "diagonalización". Básicamente la misma idea parece haber sido utilizada por primera vez por du Bois-Reymond para tratar los órdenes de crecimiento de las funciones. Lo hizo unos años antes de Cantor usó la diagonalización en la Teoría del Conjunto.