¿Por qué todo mapa lineal positivo entre $C^*$ -¿algebras acotadas?

Question

Sabemos que toda función lineal positiva en un $C^*$ -es acotada.

¿Cómo podemos demostrar que todo mapa lineal positivo entre $C^*$ -¿las álgebras están acotadas?

Answer 1

Dejemos que $\phi:A\longrightarrow B$ sea un mapa lineal positivo entre dos $C^*$ -algebras. Demostraremos que $\phi$ está automáticamente acotada. Podemos suponer que $B$ es unital sin pérdida de generalidad, pero esto no cambia nada. El problema es con $A$ . Esta es una prueba que aprendí en El libro de Blackadar que funciona tanto si $A$ es unital o no, tanto para los funcionales lineales positivos como para los mapas lineales positivos en general. Eventualmente utilizaremos el orden parcial sobre elementos autoadjuntos $x\leq y$ si $y-x$ es positivo. Por supuesto, $x\leq y$ implica $\phi(x)\leq \phi(y)$ . Tenga en cuenta que para $z$ autoadjunto en $B$ unital, tenemos $\|z\|\leq M$ si y sólo si $-M1\leq z\leq M1$ .

1) Cada $x\in A$ se puede escribir $x=h+ik$ con $h,k$ autoadjunto, $\|h\|\leq \|x\|$ y $\|k\|\leq \|x\|$ . En efecto, el conjunto $h:=\frac{x+x^*}{2}$ y $k:=\frac{x-x^*}{2i}$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $\phi$ está acotado en elementos autoadjuntos.

2) Todo autoadjunto $x=x^*\in A$ se puede escribir $x=x_+-x_-$ con $x_+,x_-$ positivo y $\|x_+\|\leq \|x\|$ , $\|x_-\|\leq \|x\|$ . En efecto, por cálculo funcional, toma $f_+(t)=\max(t,0)=\frac{|t|+t}{2}$ y $f_-(t)=\max(-t,0)=\frac{|t|-t}{2}$ . A continuación, establezca $x_+:=f_+(x)$ y $x_-:=f_-(x)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $\phi$ está acotado en elementos positivos.

3) Supongamos para una contradicción que $\phi$ no está acotado en elementos positivos y toma $x_n$ una secuencia de elementos positivos tal que $\|x_n\|=1$ y $\|\phi(x_n)\|\geq 4^n$ . Ahora, establece $x:=\sum_{n\geq 1}2^{-n}x_n\in A$ . Para cada $n\geq 1$ , $x\geq 2^{-n}x_n$ de donde $\phi(x)\geq \phi(2^{-n}x_n)$ y por lo tanto $\|\phi(x)\|\geq \|2^{-n}\phi(x_n)\|\geq 2^{-n}4^n=2^n$ . Contradicción desde $\|\phi(x)\|<\infty$ .

Nota: con más trabajo, podemos demostrar que si $A,B$ son unitales y si $\phi:A\longrightarrow B$ es un mapa lineal unital, entonces $\phi$ es positivo si y sólo si $\|\phi\|=1$ .

Answer 2

$\newcommand{\zhang}[1]{{\Large{\text{#1}}}} \def \A{\mathscr A} \def \F{\mathbb{F}} \def \N{\mathbb{N}} \def \R{\mathbb{R}} \def \C{\mathbb{C}}\def \H{\mathscr{H}}\def \d{\mathrm{d}} \def \Inv{\mathrm{Inv}} \def \ni{^{-1}} \def \jx{\lim_{n\to\infty}} \def \yb{\frac{1}{2}} \newcommand{\x}{\times} \newcommand{\wt}{\textbf{Question.}} \newcommand{\bh}[1]{\textbf{#1.}} \newcommand{\xl}[2]{#1_1, #1_2, \cdots, #1_{#2}} \newcommand{\xl}[2]{#1_1, #1_2, \cdots, #1_{#2}} \newcommand{\tm}[1]{\textbf{ #1.}} \renewcommand{\l}[1]{\lVert #1\rVert}\newcommand{\zm}{Proof.} \newcommand{\zb}{}$

Supongamos que $\varphi:A\to B$ es un mapa lineal positivo entre $C^*$ entonces para todo funcional lineal positivo $\tau$ en $B$ , $\tau\circ\varphi $ es una función lineal positiva sobre $A$ y por lo tanto acotado, es decir $$\lVert\tau\circ\varphi(x)\rVert\leq M_\tau ~~ (\forall x\in A \text{ satisfying } \l{x}\leq 1)$$ para alguna constante positiva $M_\tau$ .

Toda función lineal acotada sobre $B$ es una combinación lineal de 4 funciones lineales positivas sobre $B$ mediante la descomposición de Jordan, por lo que para todo $b^*\in B^*,$ $$\l{b^*(\varphi(x))}\leq M_{b^*} ~~( \forall x\in A \text{ satisfying } \l{x}\leq 1)$$ para alguna constante positiva $M_{b^*}$ . Por lo tanto, $\l{\varphi(x)}\leq M$ para alguna constante positiva $M$ por el Principio de Acotamiento Uniforme, es decir $\varphi$ está acotado.