¿Cómo sabemos que la continuación analítica de acuerdo con UV reguladores?

Question

Considere la posibilidad de la divergencia de la serie $$S = 1 + 1 + 1 + \ldots$$ que puede aparecer en algunos de los cálculos que involucran el efecto Casimir. Hay dos formas principales para evaluar esta serie. Uno puede realizar la continuación analítica (por ejemplo, por la función zeta), dando $$S = \zeta(0) = -1/2.$$ La otra forma común es para parametrizar la divergencia mediante la regulación de la serie. Por ejemplo, podemos añadir una exponencial regulador, lo que convierte a la serie en una serie geométrica convergente: $$S = 1 + (1-r) + (1-r)^2 + \ldots = \frac{1}{r}.$$ Entonces, podemos cancelar puro divergencias (es decir, términos de la forma $1/r^n$) uso de locales counterterms, para $$S = 0.$$ Estos dos métodos parecen no estar de acuerdo.

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Ambos de estos métodos (que voy a llamar a 'continuación analítica' y 'UV reg. + counterterms') se utiliza mucho en la física.

• En el habitual efecto Casimir, tenemos la serie de $1+2+3+\ldots$. Continuación analítica de los rendimientos de $\zeta(-1) = -1/12$, y parametrización da $1/r^2 - 1/12$, por lo que los dos métodos están de acuerdo.
• En el cómputo de bucle integrales, dimensiones de regularización es el primer método, y la mayoría de los otros métodos (Pauli-Villars, duro de corte) utilizar el segundo método.
• A veces, ambos métodos tienen que ser utilizados. Dimensiones de regularización sólo elimina sin escamas divergencias $\int dk/k^n$, y otras divergencias se manifiestan como polos en $\epsilon$. Luego nos cancelar aquellos con counterterms.

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Dado que estos dos renormalization métodos son muy comúnmente (y de forma indistinta), me preocupa que no están de acuerdo en la serie $S$ definido anteriormente. Yo he escuchado varias soluciones posibles a este problema, algunos en la (borrado) comentarios de abajo.

• En cualquier situación física, el regulador no importa. Así que en este caso, $S$ no sería físicamente observables; tendría que ser restado de algunos otros divergentes de la serie, y el resultado no dependen del método utilizado.
• Continuación analítica es generalmente más confiable. Si los dos métodos de desacuerdo, a continuación analítica es la derecha.

Que de estos, si, es el derecho que la resolución de la paradoja?

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Aquí hay algunas referencias a las preguntas relacionadas con el preguntó:

• Esta pregunta le pregunta si analítica continuación puede producir una no respuesta.
• Esta pregunta presenta una tercera opción para renormalization, que es el postulado de que $$\sum_{n=0}^\infty a_n = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n.$$ Este método está de acuerdo con la continuación analítica y UV reg. a veces, y otras veces no está de acuerdo. Es claro para mí, donde esta uno debe ir.
• Esta respuesta presenta una cuarta opción, alisado asymptotics, y muestra que su resultado no es única. También es claro para mí cómo este método está relacionado con los otros tres.

Answer 1

Su ejemplo no tiene ningún counterterms para cancelar el 1/r singularidad! Esto explica la discrepancia.

En la correcta regularización de la expresión, la counterterms no se introducen de una forma ad hoc, pero por renormalizing algunas constantes en el problema original que da lugar a la serie. Se trata de modificar todos los términos de la suma y hacer la parte divergente se desvanecen para las elecciones, por lo que el singular límite puede ser tomado en el resultado. Tener que desechar un infinito sin haber sido capaz de cancelar correctamente es siempre un signo de haber cometido un error.

Usted podría estar interesado en leer mi tutorial de papel "Renormalization sin infinitos" - un tutorial que explica renormalization en una forma mucho más simple nivel de la teoría cuántica de campos.

En general, para saber lo que el resultado debe ser uno debe empezar con una bien definida expresión cuyo límite es buscar y, a continuación, transformar los parámetros de esta expresión en una forma que después de la transformación que el límite existe. El resultado debe ser regulador independiente.

Pero si uno no tiene un número finito de contexto para empezar no hay manera de saber lo que uno debe hacer. Separado de contenido físico, una divergente la serie es sólo que - divergentes y, por tanto, carece de sentido. La serie $\sum_{i=0}^\infty (−1)^i$ se les puede dar cualquier valor entero debidamente reordenación y tomando las sumas parciales, y todos estos valores son diferentes a los de el valor que se obtiene al interpretarla como un límite de una serie geométrica.

Por lo tanto sólo es el contexto que hace que el valor de una divergente la serie, posiblemente, bien definido.

Answer 2

De hecho, analítica continuación, en cierto sentido, se sustrae a la divergencia con contador de términos. Una muy clara de que el tratamiento ha sido realizado en Terry Tao del blog: https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ (Véase la sección 2)

Nota del resultado de la regularización no depende de que el regulador de elegir, y esto es esencialmente explícito en Zhengyan Shi respuesta. (El $f(0)=1 $ condición) En su caso, la analítica continuación se puede pensar en el uso de una compacta compatible la función$\eta(x)$$(0,1)$,$\eta(0)=1$.Por lo tanto se puede considerar que la suma $$\sum_{n=0}^{\infty}n^s\eta(\frac{n}{N})$$

En Terry Tao del blog, la trata con el general complejas $s$,$Re(s)>-1$, y resulta que con las $\eta(0)=1$, uno puede realmente analíticamente continuar zeta función restando de la divergencia de la pieza en la asintótica de expansión de $N$, es decir, $$\zeta(-s)=\lim_{N\to \infty}(\sum_{n=0}^{\infty}n^s\eta(\frac{n}{N})-N^{s+1}\int_0^{\infty}x^s\eta(x)dx)$$ y no depende de lo $\eta(x)$ uno elige siempre como $\eta(0)=1$. Uno puede ver en este sentido analítico continuación se resta de la divergencia mediante contador de términos.Como se mencionó anteriormente,el resultado depende de lo $\eta(0)$ es.

Por ejemplo, si dejamos $s=0$,y considerar la suma de $\sum_{n=0}^{\infty}\eta(\frac{n}{N})$, lo que ha asintótica de expansión $$N\int_0^{\infty}\eta(x)dx-\frac{1}{2}\eta(0)+\mathcal{O}(\frac{1}{N})$$

El primer término es la divergencia de la pieza y por lo tanto se resta fuera por "contador de términos".El segundo término es el regulado de la suma.

Por zeta regularización $\eta(0)=1$ y por lo tanto la respuesta es $-\frac{1}{2}$. Para su $(1-r)^n$ regularización, en este idioma (se puede desactivar curso de corte de su función más allá de la $x=1$), es $\eta(x)=(1-r)^x$ por $r$, e $\eta(0)=1$. Así que si usted considera que la parte finita de $\lim_{N\to \infty}\sum_{n=0}^{\infty}(1-r)^{\frac{n}{N}}$, de verdad se consigue $-\frac{1}{2}$ de acuerdo con los zeta de regularización.

Pero en lugar de mirar a $N\to \infty $ límite finito $r$, el segundo método en tu pregunta se ve en $r\to 1$ límite finito $N$. La función de $x^y$ no es continua en a$(0,0)$, por lo que están obligados a obtener diferentes asintótica comportamiento en función de que el límite de que usted tome la primera.

Así como un resumen, 1) la función Zeta de regularización puede ser el pensamiento de restar countqerterms 2) Dependiendo de cómo elegir el regulador y tomar el límite, usted puede obtener diferentes respuestas, y no hay una respuesta correcta a priori. El "derecho" de regularización debe tomar en cuenta el actual contexto físico. (como no romper varias simetrías de la teoría.)

Answer 3

Yo no sé mucho acerca de QFT en todo, pero he leído algunas discusiones de Casimir del efecto en Mateo Schwartz QFT libro de texto y espero que me puede ofrecer algunas ideas valiosas acerca de por qué los diferentes reguladores de acuerdo en algunos casos pero no en otros.

Esencialmente, en Schwartz tratamiento, hay una clase de reguladores que producen el mismo resultado, a saber, el $-\frac{1}{24r}$ plazo de la energía. Más precisamente, se deriva la necesaria restricciones sobre los reguladores.

Aquí están los detalles. Supongamos que la frecuencia de corte frecuencia angular en el disco duro-regulador de corte está dada por $\omega_{cutoff} = \pi \Lambda$ (la energía será demostrado ser independiente de la frecuencia de corte!). A continuación, un regulador general $f$ vuelve la suma original:$$ E(r) = \sum_n \frac{\omega_n}{2} \quad \omega_n = \frac{n \pi}{r}$$

En la suma: $$E(r) = \sum_n \frac{\omega_n}{2} f(\frac{\omega_n}{\omega_{cutoff}})$$

El uso de la expresión general para calcular la energía total, nos encontramos con dos restricciones que son necesarias. Primero de todo, si $$ \lim_{x ->\infty} xf(x) = 0$ $ , A continuación, nos encontramos con un bonito y limpio, la expresión para la energía total (el cálculo detallado es una aplicación directa de Euler-MacLaurin de la Serie): $$E_{total} = E(r) + E(L-r) = \frac{\pi}{2} \Lambda^2 L - \frac{\pi f(0)}{24r} + ...$$ Si a continuación, agregamos la restricción de que $f(0) = 1$, $r$ dependiente de término de energía coincide con los resultados experimentales. Y las dos restricciones no son muy fuertes. Una amplia variedad de reguladores de satisfacer estas limitaciones. Por ejemplo:

1. El calor del núcleo regulador: $f(x) = e^{-x}$

2. El regulador de Gauss: $f(x) = e^{-x^2}$

3. El Duro de corte: $f(x) = \theta(1-x)$

Para su caso de $S$, se utiliza el regulador $(1-r)^n$. Tal vez usted puede escribir más general de los reguladores y de derivar algunas restricciones para garantizar la coherencia? Eso es solo un pensamiento.

P. S. En el Casimir caso, si usted acaba de comenzar con la continuación analítica sobre la serie: $$ E(r) = \sum_n \frac{\omega_n}{2}$$ El regulador es, simplemente,$f(x) = 1$. Que no satisface la restricción de fuga se mencionó anteriormente. Pero una aplicación directa de continuación analítica todavía te da el resultado correcto... esto es confuso para mí también. Con suerte, las personas que realmente saben de QFT puede agregar mucho más interesantes respuestas.