Estaba leyendo en la secuencia de Fibonacci cuando he notado que algunos fueron capaces de calcular números específicos. Hasta ahora sólo he averiguado creando una matriz y contar hasta el valor, que es increíblemente simple, pero creo que no puedo encontrar ninguna fórmula para el cálculo de un número de Fibonacci basado en su posición.
¿Hay una manera de hacer esto? Si es así, ¿cómo somos capaces de aplicar estas fórmulas a las matrices?
Un montón de gente ha mencionado la fórmula de Binet. Pero sospecho que esto no es la forma más práctica para calcular el n-ésimo número de Fibonacci para la gran n, ya que se requiere de tener una muy precisa el valor de $\sqrt{5}$ y llevar alrededor de un montón de lugares decimales (si quieres hacer la aritmética de punto flotante) o la expansión de las grandes potencias de $1+\sqrt{5}$ utilizando la fórmula binominal. El último sale a la escritura de la serie de números como suma de los coeficientes binomiales.
Las fórmulas siguientes se mantenga, a pesar de que: $$F(2n-1) = F(n)^2 + F(n-1)^2$$ $$F(2n) = (2F(n-1) + F(n)) \times F(n)$$ que usted puede encontrar derivaciones en el artículo de la Wikipedia sobre los números de Fibonacci. Esto le permite encontrar $F(k)$, $k$ pares o impares, en términos de dos números de Fibonacci con aproximadamente la mitad del índice. El resultado es más rápido que la fórmula de Binet.
También puede utilizar la ecuación de matriz de números de Fibonacci:
$$ \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix} $$ Para calcular $$n-ésima potencia de la matriz se puede utilizar exponenciación por el cuadrado de algoritmo.
Este enfoque también podría ser generalizado en el caso de la secuencia arbitraria lineal de la recurrencia de la relación.
Wikipedia tiene una función de forma cerrada llamada "Fórmula de Binet".
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Relation_to_the_golden_ratio
$F\left(n\right) = $ {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}
Esto se basa en la proporción áurea.
El cálculo de forma cerrada para las secuencias de Fibonacci se conoce como fórmula de Binet.
Para ampliar falagar la respuesta, mi favorito de la prueba de Binet la fórmula:
...Que yo iba a publicar un resumen de aquí, pero recuerda que todo era horrible sin Tex, así que aquí está un enlace a algunas notas que he encontrado en google.
La idea básica es tratar a los pares de fibonnacci números adyacentes en la secuencia, como vectores. De pasar a la siguiente par adyacente induce una transformación lineal no se diferencia de la de la matriz falagar publicado. El cálculo de autovalores y autovectores puede dar una completa predicción de donde un vector inicial se va a encontrar, la predicción de la secuencia entera.
Es mucho trabajo pero creo que es bastante ilustrativo.
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