¿Cómo es el modelo estándar de la teoría de los números especificados, y ¿por qué no podemos usar esa especificación para probar cualquier número teórico frase de interés?

Question

Según Gödel del teorema de la incompletitud, existe una sentencia de $G$ en el vocabulario de la teoría de los números ( $N$ ), que no es comprobable por cualquiera (recursivamente enumerable) conjunto consistente de axiomas $T$, y, sin embargo, que, bajo el modelo estándar ( $SM$ )$N$. Además, esto significa que hay algún otro modelo de $M$ $T$ en virtud de la cual $G$ es falso (por lo contrario, si $G$ era verdad en todos los modelos de $T$, $G$ sería comprobable de $T$, por el teorema de completitud para FOL).

Mi pregunta es, ¿cómo o en qué manera, cómo podemos especificar o describir el modelo estándar $SM$$N$? Algún tipo de descripción/especificación (en algunos metalenguaje tal vez) parece necesario si hemos de mostrar que $G$ bajo $SM$, y también si queremos diferenciar de otro, no del modelo estándar $NSM$$N$. Pero una vez que contamos con la especificación formalizada $S$, no es que en sí mismo una especie de axiomatization del modelo estándar (que, presumiblemente, se puede expresar en primer orden de la lógica)?

En otras palabras, de las que sería capaz de demostrar cualquier frase,$\phi$, mientras $\phi$ es válido en virtud de todos los modelos de $M$ descrito por $S$ ( $M\models S$ ). Pero dado que S es un formalizado descripción/especificación del modelo estándar de $N$, de los modelos descritos por que tienen exactamente la estructura de lo que normalmente entendemos por "números" y "aritmética" y "teoría de números", y por lo tanto que sería capaz de demostrar cualquier número teórico de la sentencia que fue realmente de interés para nosotros.

Answer 1

He aquí una rápida respuesta, en términos del título.

Para especificar el modelo estándar, hasta isomorfismo, tenemos la idea de que el cero es un número, que el sucesor de un número es un número, y nada más es un número.

Ahora, la última cláusula de aquí es el problema aquí. Por un lado, la idea de que encapsula parece muy básico, muy sencillo, algo que levantar temprano en nuestra formación en matemáticas. Por otro lado, se puede demostrar que es inexpresable en un primer orden de teoría de la aritmética como de primer orden de la Aritmética de Peano.

Precisar que el último cierre de la condición, necesitamos que (parece) para invocar de segundo orden de las ideas. Pero de segundo orden de la lógica (con el correspondiente "total" semántica") no es recursivamente axiomatizable (por eso es incorrecto decir "una vez que contamos con la especificación formalizada $S$ [del modelo estándar], no es que en sí mismo una clase de un axiomatization del modelo estándar (que, presumiblemente, se puede expresar en primer orden de la lógica").

Para más información sobre esto, véase, por ejemplo, Shapiro libro clásico en segundo orden de la lógica (Fundaciones sin Fundacionalismo), o mi libro Gödel.

Answer 2

También podemos pensar en la intención de interpretaciones de las teorías en un no-matemático, o pre-matemática.

Por ejemplo, los niños pequeños pueden conceptualizar un plano infinito plano bidimensional. Sobre la base de ese entendimiento, se puede ver que Euclides los axiomas de (con la posible excepción del postulado paralelo) son consistentes. Realmente no "especificar" el idealizado avión en gran detalle - nosotros creemos que ya sabemos lo que es, y luego tratamos de utilizar ese conocimiento previo para entender axiomas geométricos.

Del mismo modo, una manera de pensar acerca de la intención de interpretación de la aritmética es la siguiente. Usualmente pensamos que tenemos una buena sensación de lo que es un "finito de la cadena". Por supuesto, sólo podemos escribir relativamente corta cadenas, pero tal y como podemos imaginar puntos arbitrariamente lejos en un plano, podemos imaginar finito de cadenas de longitud arbitraria. Ahora piensa en todas las finito de cadenas que sólo tienen el símbolo 'a' en ellos: a, aa, aaa, aaaa, ... Estos forman una intención de interpretación de la aritmética a partir de 1. El sucesor de operación, en esta interpretación, sólo añade otro 'a' a la final de una cadena, y dos cadenas son iguales si tienen la misma longitud. Esto parece, a muchos, como una relativamente descripción concreta de un modelo de la aritmética. Por ejemplo, si sabemos que la cadena de caracteres 'a' tiene alguna propiedad en particular, y sabemos que la concatenación de una 'a' en una cadena de caracteres con la propiedad que le da otra cadena con la propiedad, entonces podemos ver de inmediato que cada finito cadena de 'a tiene la propiedad - este es el principio de la inducción.

Por supuesto, sólo porque pensamos que hemos especificado el modelo, no significa que lo sabemos todo sobre el modelo sobre la base de esa especificación. Nos ma conozca lo suficiente como para ver que los axiomas de una teoría son verdaderas, sin saber lo suficiente como para saber si algunos de los más complicados de la propiedad (por ejemplo, el doble conjetura de los números primos) es verdadera.