Continuó fracción de $c= \sum_{k=0}^\infty \frac 1{2^{2^k}} $ - existe una sistemática de expresión?

Question

Quiero usar el convergents de la continuación de la fracción de $$c= \sum_{k=0}^\infty \frac 1{2^{2^k}} $$ - pero, por supuesto, una numérico software es muy limitado, así que espero que no existe una sistemática de expresión para las entradas de la continuación de la fracción sí que puedo usar y evaluar directamente.
Así

Q: ¿hay una descripción funcional de los términos de la continuidad de la fracción de $c$

(Tengo un vago recuerdo de que una vez había una copia de un artículo que aborda de forma sistemática, pero un periódico fracciones continuas posiblemente relacionadas con constantes como $c$ aquí, pero no puedo recordar más detalles, por lo que una referencia útil que ayudan también. Al menos acabo de encontrar un viejo artículo de J. Shallit "Simple fracciones continuas para algunos números irracionales", que trata esto, pero solo para las series con las bases de $3$ en lugar de $2$ en los denominadores $c_3= \sum_{k=0}^\infty \frac 1{3^{2^k}} $ , y también no tengo la receta para determinar las entradas de las fracciones continuas correctamente)

El uso de Pari/GP interna de la precisión decimal de \p 200 me sale lo siguiente:

 c = sum(k=0,24,(2.0)^-(2^k))*1.0   \\ generate an approximation
 %575 = 0.816421509022              \\ result: first digits of the constant
 contfrac(c)
 %574 = [0, 1, 4, 2, 4, 4, 6, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 4, 4, 2,
         4, 6, 2, 4, 4, 6, 4, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 4,
         6, 2, 4, 4, 6, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 6, 4, 
         2, 4, 4, 6, 4, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 4, 6, 2,
         4, 4, 6, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 4, 6, 2, 4,
         4, 6, 4, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 6, 4, 2, 4, 4,
         6, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 6, 4, 2, 4, 4, 6,
         4, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 4, 6, 4,
         2, 4, 6, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 4, 6, 4, 2,
         6, 4, 2, 4, 6, 4, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 4, 6, 4, 2, 4]

Answer 1

Shallit del papel, que usted ha citado, da un algoritmo simple para la generación de estos coeficientes. Funciona para $\sum_{k=0}^{\infty}u^{-2^k}$ por entero $u\ge 3$; pero señala que también funciona para $u=2$ (en su caso) con una ligera modificación.

Empezar con $$B_1=[1,3].$$ Luego repetidamente aplicar la siguiente regla: $B_{n+1}$ es generado a partir de $B_n$ anexando la inversa de a $B_n$ $B_n$y, a continuación, la adición de $1$ $-1$ a los dos términos centrales. Es decir, $$ B_2=[1,4,2,1] \\ B_3=[1,4,2,2,0,2,4,1] \\ B_4=[1,4,2,2,0,2,4,2,0,4,2,0,2,2,4,1] \\ ... $$ Esto es correcto, tal y como está, pero por lo general se excluye a los ceros de las entradas de forma continuada, una fracción. Para rectificar (esta es la ligera modificación), generar $C_n$ $B_n$ contratación de cualquier subsequence $[a,0,b]$$[a+b]$. Es decir, $$ C_2=[1,4,2,1] \\ C_3=[1,4,2,{\mathbf{4}},4,1] \\ C_4=[1,4,2,{\mathbf{4}},4,{\mathbf{6}},{\mathbf{4}},2,4,1]\\ ... $$ Ahora los elementos de cada una de las $C_n$ (a excepción de la final de la $1$) son las entradas en la continuidad de la fracción de $\sum_{k=0}^{\infty}2^{-2^{k}}$. (Se nota que están de acuerdo con los que ya has encontrado.) Elegir sólo una lo suficientemente grande como $n$ para llegar a la entrada que usted necesita.

Answer 2

Ah, al menos uno de los empírica patrón que puede ser construido de forma recursiva (si es que la heurística tiene...) Deje $$a(n) = \sum_{k=0}^n \frac 1{2^{2^k}} $$ y deje $ c(n) $ ser la lista de los denominadores parciales de la continuación de la fracción (="entradas" de la cf) de $a(n)$ - escrito como una cadena, porque tenemos sólo unos pocos números y puede muy bien compacto, la notación para centrarse en el patrón en las entradas. También vamos a la última entrada ser no normalizados, lo que dividir la última entrada $e$ en dos entradas de $e-1,1$ a continuación se obtienen los patrones:

c(2)=[0;1 4 2 1]
c(3)=[0;1 4 2 4 4 1]
c(4)=[0;1 4 2 4 4 6 4 2 4 1]
c(5)=[0;1 4 2 4 4 6 4 2 4 6 2 4 6 4 4 2 4 1]
c(6)=[0;1 4 2 4 4 6 4 2 4 6 2 4 6 4 4 2 4 6 2 4 4 6 4 2 6 4 2 4 6 4 4 2 4 1]

De $c(3)$ $c(4)$y, a continuación, para $c(4)$ $c(5)$nos encontramos con un simple patrón recursivo:
"Para crear $c(m+1)$ $c(m)$ reemplazar el trailing $1$ $6$ y concat la cadena de entradas (excepto el último segundo) a la inversa" de tal manera que tenemos

c(3)=[0;1424  41 ]
c(4)=[0;1424  46  4241 ]

y de $c(4)$ $c(5)$el patrón de generación es el mismo:

c(4)=[0;14244642   41]
c(5)=[0;14244642   46   24644241]

Por lo que parece, toda la infinita cadena de entradas puede ser definido por un recursiva "cadena"de la operación.
He visto una vez una arcticle, que considera más de tales patrones recursivos en las entradas de las fracciones continuas y, especialmente, que el reflejo en el orden inverso al concatenar - pero no recuerdo el autor.

Answer 3

Dado que la relación de la prueba puede ser aplicada, sabemos que no existe el límite L.

Ahora podemos decir $a_n=a_{n+1}$$n\to\infty$.

Si usted está buscando una aproximación, tomar wolfram alpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%281%2F2^2^k%29

Tenga en cuenta que después de k=3 nada dramático sucede ya, desde que la fracción se pone tan pequeño muy rápidamente

No sé exactamente si se puede aplicar aquí, pero tal vez adic expansión podría servir también de ayuda (de preferencia, como dijo Helms base 2)