La validez de mi extraño prueba de que $AB$ $BA$ tienen los mismos autovalores?

Question

En una reciente algebra lineal examen, yo estaba obligado a demostrar que "por cada $n \times k$ matriz $A$ $k \times n$ matriz $B$ sobre el mismo campo, sostiene que $AB$ $BA$ tienen los mismos autovalores excepto 0."

Este es un clásico de resultado y realmente debería haber sabido mejor, pero por alguna razón la única prueba que se me ocurrió es la siguiente. Es una especie de extraña (el examinador lo rechazó), pero yo creo que puede ser válido de todos modos. Estoy en lo cierto?

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Prueba:

Deje $M_{AB}(t)$ $M_{BA}(t)$ ser el mínimo polinomios de $AB$ $BA$ respectivamente.

Se sostiene que:

$M_{AB}(AB)=0$.

Por lo tanto:

$B \cdot M_{AB}(AB)=0$

$M_{AB}(BA) \cdot B=0$

$M_{AB}(BA) \cdot BA=0$

Así que podemos ver que $BA$ es un cero del polinomio $M_{AB}(t) \cdot t=0$.

Por lo tanto, $M_{BA}(t)\: |\: M_{AB}(t)\,t$, lo que significa que $M_{BA}(t)$ $M_{AB}(t)$ comparten la misma irreductible factores, excepto posiblemente para $t$, y la demanda de la siguiente manera. $\square$

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Por favor nota:

Sé que este resultado ha sido tratado muchas veces en este sitio, pero yo no encuentro mi prueba en cualquier lugar, así que creo que este no es un duplicado.

Answer 1

Su respuesta es correcta. Es más complicado que el estándar de prueba.

Usted podría explicar la razón por la que $BM_{AB}(AB)=M_{AB}(BA)B$, pero es realmente inteligente. No estoy seguro que se llamaría "la extraña."

Oh, que también quedó fuera de la simetría de la parte - que $M_{BA}(t)\mid M_{AB}(t)t$$M_{AB}(t)\mid M_{BA}(t)t$. Que la simetría es necesario para conseguir que comparten el mismo conjunto de no-cero autovalores.