Tengo este problema desde mi maestro como un opcional reto. Estoy abierto acerca de este ser un problema determinado, sin embargo no es la tarea.
El problema se expresa de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un infinito tetration de la siguiente manera
$$ \X^{x^{x^{.^{.^.}}}} \, = \, $$
Con un $a$ a encontrar $x$. La siguiente parte del problema fue discutir el radio de convergencia de una. Si es demasiado grande o demasiado pequeño el tetration no converge.
A continuación es mi humilde puñalada en el problema.
Mi amigo dijo que tendríamos que tratar a la tetration como un infinnite la serie, y por lo tanto podría no realizar manipulaciones algebraicas antes de que se sepa si converge o diverge.
Sin embargo mi intención es hacer algunos pasos algebraicos, luego de discutir la convergencia de la radio.
I) discusión Inicial
En el inicio es obvio que la tetration converge cuando $a=1$ (solo conjunto $x=1$) Ahora, después de algún equipo trabajar duro parece que el tetration no converge cuando una es aproximadamente mayor que 3.
II) manipulación Algebraica
$$ \X^{x^{x^{.^{.^.}}}} \, = \, $$
Este es el mismo como
$$ \X^a \, = \ $$
$$ \Large \log_a(x^a) \, = \, \log_a(una)$$
$$ \Large \log_a(x) \, = \, \frac{1}{a}$$
$$ \X \, = \,^{\frac{1}{a}}$$
Ahora, si dejamos a $a=2$, entonces $x = sqrt{2}$. Después de algo más de trabajo de cálculo, esta parece ser la correcta. Lo que me hace creer que este fomula es correcta.
III) Discsussion sobre la convergencia
Mirando el derivado de $ \displaystyle \grande^{\frac{1}{a}} $, vemos que los máximos se produce cuando $a=e$. Lo que también parece corresponder con la inicial de trabajo de cálculo. Ahora que lo pienso, que los mínimos de $\displaystyle \grande^{1/}$ es cero, observando su gráfica. Y el estudio de sus derivados y de los puntos finales.
Así que mi "adivinar" o trabajo se muestra que converge cuando
$$ a \in [0 \, , \, 1/e] $$
VI) a Mis preguntas
Puede mi manipulaciones algebraicas ser justificado? Parecen más bien vagos tomar la a-esima logaritmo y así sucesivamente . (A pesar de que parecen "magicaly" dar la respuesta correcta)
Mirando en la wikipedia parece que el tetration convergen cuando $$ \large \en \left[ 1/e \, , \, e \ \ derecho] $$
Esto es casi lo tengo, ¿por qué es mi límite inferior worng? ¿Cómo puedo encontrar la correcta límite inferior?
