Supongamos que
$$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$$
Sabemos que esta función está definida en todas partes y es continua en todas partes y así sucesivamente...
El uso de la serie geométrica, podemos escribir
$$ \frac{1}{1+x^2} = \sum (-x^2)^n = \sum (-1)^n x^{2n} $$
Pero, esto sólo converge iff $|-x^2|<1$ fib $|x|<1$. ¿Por qué hace esto converge sólo en $(-1,1)$ cuando sabemos que es definido en todas partes, aunque?
Esta es una gran pregunta. Se muestra en pocas palabras por qué el análisis debe ser hecho en el plano complejo, no en la línea real.
La función de $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ está definido por todas partes en la línea real, como usted ha señalado—, pero no es definido en todas partes en el plano complejo. En particular, no se define en $x=i$ o $-i,$ debido a que el denominador se convierte en $0$ para los valores de $x.$
La serie de Maclaurin para esta función, $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n},$ tiene un círculo de convergencia en el plano complejo, centrado en el origen. Este círculo no puede tener radio mayor que $1,$ desde que la serie no converge en $i$ $-i,$ que están a una distancia de $1$ desde el origen.
De hecho, el círculo de convergencia para este poder de la serie es el círculo unitario. Eso significa que van a converger en todo el interior del círculo unitario, y se desviará todas partes fuera del círculo unidad. (Como para los puntos en la circunferencia del círculo, usted tendría que mirar más de cerca para ver cuál de ellas converge y diverge.)
La integridad, debo añadir que no toda la serie de Maclaurin tiene un círculo de convergencia: algunos convergen todas partes, y algunos convergen solamente en el origen. Pero entre estos dos extremos, habrá un círculo centrado en el origen tal que la serie converge en el interior del círculo y diverge fuera del círculo (con los puntos de la circunferencia que requieren una mayor investigación).
La serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}$ es el poder de la serie de la representación en el $(-1,1)$ de la función de $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
La serie no representa la función de $f$$|x|\ge 1$.
Podemos encontrar una serie representación de $f(x)$ que es válido para $|x|>1$. Para ello, escribimos
$$\begin{align} \frac{1}{1+x^2}&=\frac1{x^2}\frac{1}{1+1/x^2}\\\\ &=\frac1{x^2}\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{-2n}\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{-2(n+1)} \end{align}$$
que converge para todos los $|x|>1$ y difiere de la de otros lugares.
Tenga en cuenta que el último de la serie se da en términos de reciprocidad poderes de $x^2$. Si $x$ se extiende a ser complejo, este es el de la serie de Laurent de $|x|>1$.
Una más la interpretación gráfica de este caso. No es una prueba, más ideas.
Sobre todo porque $f$ es una función que tienden a $0$$\pm \infty$. Este no es un comportamiento natural de los polinomios, y menos aún cuando tienen grados más altos.
Sin embargo, la función es muy suave, lejos de $\pm \infty$, es decir, alrededor de $0$. Aquí, un mayor grado de los polinomios de ajuste de la función mucho mejor, incluso más que en grados superiores. Esto se ilustra en el siguiente pîcture, la parte superior que muestra que el comportamiento es muy diferente entre los $0$ barrios o $+ \infty$, y el de abajo sólo en la vecindad de $0$.
La calidad de la aproximación, y el radio de convergencia, está altamente relacionado con el comportamiento de la coeficients $a_n$ multiplicando los términos de $x^n$. Aquí, la razón por la que la frontera se encuentra en $x=1$ es debido al hecho de que han $|a_n|=1$, lo que conduce a la divergencia de la serie en $x=\pm 1$. Serían los coeficientes de disminuir a una velocidad diferente (por ejemplo,$|a_n|\sim \frac{1}{r^n}$), esto podría modificar el radio de convergencia a $r$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
