¿Por qué las unidades (de la física) se comportan como los números?

Question

¿Cuáles son las unidades (como metros $m$, segundos $s$, kilogramo $kg$, ...) desde un punto de vista matemático?

He hecho la observación de que las unidades de "comportarse como los números". Por ejemplo, podemos dividir (en $m/s$, que es una unidad de velocidad), y también la plaza de ellos (la unidad de aceleración es $\frac{m}{s^2}$). Además de eso, podemos cancelarunidades: $$s = v\cdot t$$ Si, por ejemplo,$v=4\frac{m}{s}$$t=5s$, luego $$\require{cancel}s=4\frac{m}{\cancel s}\cdot 5\cancel s=20m.$$

Tenga en cuenta que $\frac{m}{s}$ también puede ser escrito como $ms^{-1}$. Este es otro ejemplo donde las unidades de "comportarse" como los números.

Entonces, ¿por qué podemos cancelar unidades, ¿por qué unidades se comportan como los números?

Me gustaría obtener una respuesta que puede ser entendido por los estudiantes de secundaria.

Answer 1

Supongamos que existe un conjunto de unidades naturales: una verdad fundamental cantidad de longitud que podíamos contar con todas las longitudes, fundamental cantidad de tiempo, fundamental cantidad de carga eléctrica, y así sucesivamente -- "Dios unidades", si se quiere. A continuación, cada cantidad en la física sería radio sin unidades, y no habría necesidad de mantener un seguimiento de ellos.

Por desgracia, los diferentes dioses a favor de diferentes tamaños de las unidades fundamentales, por lo que si compramos un conjunto de instrumentos que mostrar los resultados de Zeus unidades, los números que tenemos no estaría de acuerdo con otro conjunto de instrumentos que usan Odinn unidades. Pero queremos escribir nuestro fórmulas y medidas que no necesitamos rehacer todo sólo porque nos interruptor de instrumentos.

Ahora, el álgebra para el rescate! Sabemos cómo hacer que las letras tienen aún indeterminado de números, por lo que decide utilizar, por ejemplo

• la letra de $m$ a pie de cómo muchos dios-unidades-de-longitud existen en la longitud que nuestro viejo no-divina sistema llamado de un metro
• la letra de $s$ a pie de cómo muchos dios-unidades-de-tiempo existen en el momento en que nuestros viejos no-divina sistema llamado un segundo
• la letra de $C$ por cuántos de dios-unidades-de-carga, etc, etc, etc.

Ahora, cuando decimos que, por ejemplo, una cierta distancia es $1.435m$ lo que queremos decir es "yo no sé lo que su instrumento mostrará cuando se mide esta longitud, pero yo qué sé que va a ser $1.435$ veces $m$ que trabaja para el conjunto de los instrumentos".

De esta manera, las letras $m$, $s$, $C$ y así sucesivamente puede ser considerado como permanente para los números reales que podríamos multiplicar las partes numéricas de las mediciones. Como tales, siguen las mismas reglas algebraicas como cualquier otro algebraicas desconocido hace -- en particular, se puede cancelar.

Lo que hace de este trabajo es el supuesto implícito de que nuestros sistemas de unidades son por lo menos coherente , por lo que si el Zeus de los instrumentos de medida de velocidades en Zeus-longitudes por Zeus-tiempo, por lo que el Odinn instrumentos de la mejor medir velocidades en Odinn-longitudes por Odinn tiempo más bien que en algunos completamente ajenos unidad que no tiene nada que ver con el tamaño de un Odinn de longitud.

Answer 2

Tensiones eléctricas no son números sino de vectores en un uno-dimensional espacio vectorial de las tensiones. La elección de la unidad de "voltio", significa la elección de una base en la que el espacio vectorial. De esta manera, cada tensión es entonces un escalar múltiples de la unidad "volt", y puede ser "identificado" con que escalar, es decir, considerar como un número.

Lo mismo para (dirigida) las longitudes a lo largo de una línea de origen, como los estudiados en el análisis de movimiento lineal. Tales longitudes de los vectores, y sólo la elección de una base de vectores "meter" los convierte en números reales.

Estos números (= coordenadas respecto a la base) transformar de acuerdo a las reglas aprendidas en lineal (o tensor) álgebra.

Es lamentable que prevalece la enseñanza de la física elemental no ha llegado con una clara y "canonified" el manejo de este aspecto dimensional de la descripción física.

En cualquier caso, yo no respalda la opinión de que la física "unidad" se comporta como un número.

Answer 3

Si me imagino que me estoy enseñando a estudiantes de secundaria, voy a explicar de la siguiente manera:

La unidad es un corto de la mano para que nos digan cómo debe el número antes de cambiar si se cambia la definición de unidades de algunas cantidades fundamentales, como L, T, M.

Por ejemplo, ¿por qué es la unidad de área es m$^2$? Porque si cambia la unidad de longitud por un factor, por la definición de área, el área será cambiado por el de "plaza" de ese número.

Si tenemos en cuenta las unidades como una abreviación para determinar cómo el número debe cambiar cuando se cambia de L,T,M, entonces es claro que cuando se multiplican dos cantidades, y que denota la unidad de su producto por el producto de sus unidades para hacer el trabajo correctamente. Uno puede, por tanto, aplicar el mismo álgebra de números a las unidades.

Por ejemplo, ¿por qué es la unidad de velocidad m/s? Porque cuando uno cambia la definición de unidades de L por un factor, y las unidades de T por otro factor, los cambios de velocidad por un factor que es el cociente de los dos factores. ¿Por qué uno puede hacer la cancelación en m/s$\times$s=m? Debido a que el producto es claramente independiente de la definición de unidad de tiempo, y de hecho puede ser correctamente representados por la abreviatura m.

Answer 4

El análisis Dimensional es a menudo utilizado para afirmar que la fórmula no puede ser correcta. Por ejemplo, supongamos que propone que el período de un péndulo es igual a su longitud veces su masa. La mayoría de los estudiantes de física simplemente digo que esto no puede ser correcto, porque el tiempo no se puede igual distancia de veces la masa. Pero, ¿qué es la prueba de que no puede ser de derecha?

Concretamente, yo estoy haciendo la siguiente empíricos de predicción:

1. Medir la masa del péndulo en gramos.
2. Medir la longitud del péndulo en centímetros.
3. Estos son los dos números. Multiplicar juntos.
4. Me dicen que este será igual al período del péndulo de segundos.

Aviso que yo nunca voy a pedirte que hagas algo indefinido (una vez alguien trató de decirme que la adición de diferentes unidades, fue como la adición de diferentes tamaños de matriz, pero esto no es válida la analogía). ¿Cómo puede uno probar, sólo en el terreno filosófico, que mi empíricos de predicción no puede ser correcto?

La respuesta es que, incluso si mi predicción era correcta, sería falso si he utilizado diferentes unidades. Supongamos que yo tenía un péndulo con una masa de 10 g, 50 cm de largo, y, exactamente como se predijo por mi fórmula, un período de 500 segundos (más de 5 minutos - ya mi fórmula está buscando menos plausible, pero sólo pretendo). Lo que si me gustaría mide la longitud en pulgadas en lugar de cm? Eso es alrededor de 20 pulgadas, por lo que hubiera conseguido $10\cdot20\neq 500$. Por lo tanto, mi fórmula no puede ser correcta para todas las opciones de unidades.

Por otro lado, el real (aproximado) la fórmula para el período de un péndulo:

$$T=2\pi\sqrt\frac L g$$

Donde $L$ es la longitud del péndulo y $g$ es la aceleración debida a la gravedad, funciona en todas las opciones de unidades, porque si me cambio de centímetros a pulgadas, yo se multiplican ambos $L$ $g$ por el factor de conversión, y así se cancela.

Dimensiones de análisis se justifica por el siguiente principio filosófico:

La naturaleza no se preocupa por el sistema métrico. De manera más general, la Naturaleza no tiene la opción preferida de las unidades. Si una ecuación es una ley de la física, entonces debe ser cierto, no importa lo que las unidades que utilizamos.

Usted puede, por supuesto, la pregunta de este axioma. Ciertamente no se puede demostrar matemáticamente. Pero es todavía bastante razonable. Las reglas para el análisis dimensional, por lo tanto, son las respuestas a las (matemáticas) pregunta: ¿bajo qué condiciones es una ecuación invariante bajo cambios de unidades?