Una parametrización de Heronian triángulos

Question

Deje $a,b,c$ ser enteros, que son los lados de un triángulo con la integral de la zona, lo que se llama un Heronian triángulo. Este sitio web atribuye a Gauss el resultado que debe entonces existen enteros $m,n,p,q$ tal que

$a = mn(p^2+q^2)$

$b = (mp)^2+(nq)^2$

$c = (m+n)(mp^2-nq^2)$

(donde he dejado un $4pq$ factor diseñado para hacer que el radio del círculo circunscrito integral). No es difícil ver que el triángulo definido por estas fórmulas es, de hecho, Heronian, sin embargo, yo no podía ni probar ni encontrar una referencia para el hecho de que esta parametrización es exhaustiva.

Alguien puede hacer una de estas dos cosas?

Gracias!

(Nota: me estoy comunicando esta pregunta en nombre de mi papá, quien es realmente la persona que veía en eso, pero no es fácilmente capaz de pedirle a él mismo por aquí. Puedo ser lento para responder en su nombre en caso de que surjan preguntas).

Answer 1

Este papel por Sascha Kurz créditos de una parametrización tanto como la suya (para los triángulos, con el entero lados y racional de la zona) para el séptimo siglo matemático Indio Brahmagupta. El documento también da un algoritmo para la generación de Heronian triángulos. No proporciona una prueba de que la parametrización da a todos los Heronian triángulos, pero tiene una razonable lista de referencia que puede ser un buen lugar para buscar más.

Answer 2

Deje que su triángulo $\triangle{ABC}$ tienen longitudes de lado $a,b,c \in \mathbb{Q}$ y el área racional. Asumir WLOG que $c$ es el lado más largo y gota la altitud de $C$ $h\in Q$ de longitud. El triángulo se divide en dos right triangles con hipotenusa $a$y piernas $d,h$ y con hipotenusa $b$y piernas $e,h$. Tenemos $d+e=c\in \mathbb{Q}$. También observe que $$d-e=\frac{d^2-e^2}{d+e}=\frac{a^2-b^2}{c}\in \mathbb{Q}$$ so we conclude that $d, e $ are rational. From the pythagorean triples we have relations $$a-d=r,\quad a+d=\frac{h^2}{r},\quad b-e=s,\quad b+e=\frac{h^2}{s}$$ and therefore $% $ $a=\frac{1}{2r}(h^2+r^2),\quad b=\frac{1}{2s}(h^2+s^2),\quad c=\frac{r+s}{2rs}(rs-h^2)$es exactamente su parametrización hasta escala.