Estoy tratando de mostrar que $\lim_{n\rightarrow \infty}\int_1^3\dfrac{nx^{99}+5}{x^3+nx^{66}} d x$ existe y cuál es su valor. Sé que para ello debo mostrar que $\dfrac{nx^{99}+5}{x^3+nx^{66}}\rightarrow x^{33}$ uniformemente en $[1,3]$ y que cada $\dfrac{nx^{99}+5}{x^3+nx^{66}}$ es integrable en $[1,3]$ y el resto seguirá. Estoy teniendo un momento difícil mostrando uniformemente que $\dfrac{nx^{99}+5}{x^3+nx^{66}}\rightarrow x^{33}$ $[1,3]$. Hasta ahora mi prueba de convergencia uniforme es la siguiente.
Que $\epsilon > 0$, elija $N\in \mathbb{N}$ tal que $\left|\frac{4}{N+1}\right|<\epsilon$. Entonces $n\geq N$ implica\begin{align*} \left|\frac{nx^{99}+5}{x^3+nx^{66}}-x^{33}\right|&=\left|\frac{nx^{99}+5-x^{33}(x^3+nx^{66})}{x^3+nx^{66}}\right|\\ &=\left|\frac{5-x^{36}}{x^3+nx^{66}}\right|\\ &\leq\left|\frac{4}{n+1}\right|\\ &\leq\left|\frac{4}{N+1}\right|<\epsilon \end{align*} y tenemos convergencia uniforme en $[1,3]$.
