Últimamente me topé con el magnífico artículo de Roger Nelsen, que se puede encontrar aquí Simetría e integración En este trabajo se demuestra que $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{1 + \tan(x)^{\sqrt{2}}} $$ Ocupa exactamente la mitad del área del rectángulo con base $\pi/2$ y la altura $1$ . Esta idea se apoya geométricamente en una figura muy convincente. El argumento también se hizo matemáticamente al observar que si $$ f(x) + f(a+b-x)$$ resulta ser una constante, entonces se puede proceder como en el caso anterior.
Quería encontrar un ejemplo contraintuitivo en el que fuera engañoso mirar la figura. La integral que encontré fue una elíptica, a saber $$ A = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 + \cos^2 x} \mathrm{d}x \approx 1.9100 $$ Que cuando se dibuja se ve algo así como
La imagen es muy sugerente al pensar que el área de la figura debe ser $$ \tilde{A} = \frac{\pi}{4}\bigl( 1 + \sqrt{2}\bigr) \approx 1.8961 $$ Donde sólo se ha utilizado la fórmula del trapecio. Esta idea es errónea ya que claramente $1.9100 > 1.8961$ . Matemáticamente se puede argumentar mirando $f(x) + f(a+b-x)$ se ve que $$ f(x) + f(\pi/2-x) = \sqrt{1+\cos^2x} + \sqrt{1+\sin^2x} $$ no es constante. La función se tambalea muy ligeramente entre $1+\sqrt{2}$ y $\sqrt{6}$ . Esto demuestra que la función $\sqrt{1+\cos^2x}$ no tiene las propiedades simétricas que uno pensaba que tenía.
Utilizando el mismo argumento en $\sin^2x$ o $\cos^2x$ en $\pi/2$ muestra que $f(x)+f(\pi/2-x)=1$ y por lo tanto la función "llena" exactamente la mitad del cuadrado con base $\pi/2$ y la altura $1$ .
Mi pregunta sobre este problema es doble:
- ¿Qué hay en la función elíptica que rompe la simetría? Está claro que no es la parte trigonométrica.
- ¿Por qué la integral más grande que el valor "esperado"?
Puedo utilizar Romberg, Trapezoide o cualquier método de integración numérica para evaluar la integral elíptica. Pero sigo sin ver intuitivamente por qué el área es mayor, ni qué rompe la bonita simetría.
