Suma

Question

Considerar la suma $$S(n,c) = \sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{i}{ci+(n-i)}$$ where $0\le c\le 1$.

Cuando $c=0$ $S(n,c)$ crece asintóticamente como $n\log n$.

Cuando $c=1$ $S(n,c)$ crece asintóticamente como $n$.

¿Por qué cuando $0<c<1$? ¿Nosotros podemos calcular exactamente $S(n,c)$? ¿Multicelular? ¿Podemos encontrar límites superior e inferior?

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Cuando $c = 1$, $\color{#0000ff}{\large{\rm S}\pars{n,1}} = \braces{\pars{n - 1}\bracks{\pars{n - 1} + 1}/2}/n = \color{#0000ff}{\large\pars{n - 1}/2}$.

Vamos a considerar el caso de $c \not= 1$: \begin{align} {\rm S}\pars{n, c} &= \sum_{i = 1}^{n - 1}{i \over ci + \pars{n-i}} = \sum_{i = 1}^{n - 1}{i \over \pars{c - 1}i + n} = {1 \over c- 1}\sum_{i = 1}^{n - 1}{i \over i + n/\pars{c - 1}} \\[3mm]&= {1 \over c- 1}\sum_{i = 1}^{n - 1} \bracks{1 - {n/\pars{c - 1} \over i + n/\pars{c - 1}}} ={n - 1 \over c - 1} - {n \over \pars{c -1}^{2}}\sum_{i = 0}^{n - 2} {1 \over i + n/\pars{c - 1} + 1} \\[3mm]&= {n - 1 \over c - 1} - {n \over \pars{c - 1}^{2}} \braces{\Psi\pars{\bracks{{n \over c - 1} + 1} + n - 1} - \Psi\pars{{n \over c - 1} + 1}} \end{align} \begin{align} \color{#0000ff}{\large{\rm S}\pars{n, c \not= 1}} &= \sum_{i = 1}^{n - 1}{i \over ci + \pars{n-i}} \\[3mm]&=\color{#0000ff}{\large{n \over c - 1} + {n \over \pars{c - 1}^{2}} \bracks{\Psi\pars{{n \over c - 1}} - \Psi\pars{n\,{c \over c- 1}}}} \end{align} $\Psi\pars{z}$ $\it digamma$ función y hemos utilizado las identidades: $$ \Psi\pars{x + m} = \Psi\pars{x} + \sum_{k = 0}^{m - 1}{1 \over x + k}\,,\qquad \Psi\pars{1 + z} = \Psi\pars{z} + {1 \over z} $$

Al $0 < c < 1$, la digamma funciones de los argumentos de ir a $-\infty$. Es conveniente usar el $\it\mbox{digamma reflexion formula}$: $$ \Psi\pars{z} = \Psi\pars{1 - z} - \pi\cuna\pars{\pi z} $$ $$\left\lbrace% \begin{array}{rcl} \Psi\pars{n \over c - 1} & = & \Psi\pars{1 + {n \over 1 - c}} + \pi\cot\pars{\pi n \over 1 - c} = \Psi\pars{n \over 1 - c} + {1 - c \over n} + \pi\cot\pars{\pi n \over 1 - c} \\[1mm] \Psi\pars{nc \over c - 1} & = & \Psi\pars{1 + {nc \over 1 - c}} + \pi\cot\pars{\pi nc \over 1 - c} = \Psi\pars{nc \over 1 - c} + {1 - c \over nc} + \pi\cot\pars{\pi nc \over 1 - c} \end{array}\right. $$ y \begin{align} {\rm S}\pars{n,c} &= -\,{1 \over c\pars{1 - c}} \\[3mm]&+ {n \over \pars{c - 1}^{2}}\bracks{% \Psi\pars{n \over 1 -c} - \Psi\pars{nc \over 1 - c} + \pi\cot\pars{\pi n \over 1 -c} - \pi\cot\pars{\pi nc \over 1 -c}} \\[3mm] \left.\vphantom{\LARGE A}{\rm S}\pars{n,c}\right\vert_{0\ <\ c\ < 1 \atop n\ \gg\ 1} &\sim -\,{1 \over c\pars{1 - c}} + {n \over \pars{c - 1}^{2}}\bracks{% \ln\pars{1 \over c} + \pi\cot\pars{\pi n \over 1 -c} - \pi\cot\pars{\pi nc \over 1 -c}} \end{align} donde hemos utilizado la función digamma $\it\mbox{asymptotic behavior}$: $\Psi\pars{z} \sim \ln\pars{z}$ al $\verts{z} \gg 1$. Observe que el $\cot$'s son los términos de "oscilante".

Observe que $$ \pi\cuna\pars{\pi n \más de 1 -c} - \pi\cuna\pars{\pi nc \más de 1 -c} = -\,{\pi\sin\pars{n\pi} \\sin\pars{\pi n/\bracks{1 -c}}\sin\pars{\pi nc/\bracks{1 -c}}} $$ y se desvanece cuando $n/\pars{1 - c}\ \mbox{and}\ nc/\pars{1 - c}\ \not\in {\mathbb N}$.

Answer 2

1. Hay una forma cerrada, gracias a mathematica (utilizando digammas):

$\frac{c n+n \psi ^{(0)}\left(\frac{c}{c-1}+\frac{n}{c-1}-\frac{1}{c-1}\right)-n \psi ^{(0)}\left(\frac{n c}{c-1}+\frac{c}{c-1}-\frac{1}{c-1}\right)-n}{(c-1)^2}$

1. Hay, por lo tanto, asymptotics (también gracias a mathematica), en el que MathJax parece estrangular, aquí hay un enlace a la pantalla de agarrar: https://www.evernote.com/shard/s24/sh/e1d1abb1-b8a4-4f4f-bad8-7e476f73f017/7700044225f8b6d0d008346a44a2fc5d

Estos pueden ser simplificado, si uno sabía el signo de $c,$ pero dejo esto para usted.