¿Qué mapas de número imaginario físicamente?

Question

Estoy tomando de pregrado de la mecánica cuántica en la actualidad, y el concepto de número imaginario había siempre me molestaba. Yo siempre siento que los números complejos son más de un matemático conveniencia, pero al parecer esto no es cierto, de que se ha producido en muchos de mis clases, Circuitos, Teoría de Control, y ahora la Mecánica Cuántica, y parece que yo siempre entienden las matemáticas, pero no alcanzan a comprender el concepto en términos de su asignación física. De ahí mi pregunta, ¿qué número imaginario mapas físicamente?

Cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Como lejos al describir la naturaleza es cuestión de matemáticas es otro lenguaje que pueda describirlo.

En los tiempos antiguos no había ninguna de las matemáticas que no sean de aritmética, y esa fue la manera en que la naturaleza se describe: los ciclos de la luna, las trayectorias de los planetas, etc.

Luego vino la geometría y utilizar herramientas matemáticas para describir la naturaleza además, basado en la aritmética, pero utilizando geométrica de los axiomas y teoremas.

Álgebra llegó tarde, a partir de los árabes, durante la edad media, donde el dogmatismo de la iglesia había dejado de progreso en la ciencia. Con la iluminación, las matemáticas se quitó y se convirtió en una hermosa herramienta que describe/modelado de la naturaleza por el tiempo de Newton, el co-inventor del cálculo. Los números negativos y los números complejos se hizo necesaria por el uso de álgebra y ahora está incorporada en todas las matemáticas útiles para la descripción de la naturaleza, como lo han comprobado.

Podemos trazar los números negativos en una x la trama, si es eso lo que quieres decir por "mapas físicamente". Los números complejos, uno de los ejes real imaginario son otra parcela donde las soluciones para los sistemas físicos se pueden mostrar económicamente. Simplifican las anotaciones y los cálculos. Una relevancia a la física de los problemas está en que se describa/incorporar funciones trigonométricas que continuamente aparecen en las soluciones de la física de los problemas de frontera debido a los armónicos de la naturaleza de muchos de los montajes. Son económicos, de la misma manera que el álgebra se convirtió en económica, sin necesidad de que la intrincada sentencias de la clásica (BC) los tiempos de las matemáticas.

Los números complejos de la física son, como todas las herramientas matemáticas utilizadas, una representación conveniente el ajuste de los datos.

Answer 2

La fase y la amplitud! Mientras que los números complejos se utilizan en el análisis de los Clásicos de Oscilador Armónico o el LCR circuito como parte de la técnica Matemática, en la cual una vez que la solución se obtiene de la parte real es extraído. Sin embargo, en la mecánica Cuántica que juegan un papel central, y QM no puede ser concebido sin ellos.

Necesariamente requerimos que tanto el concepto de Fase y Amplitud en la descripción de la mecánica cuántica. Cuando 2 eventos están separados por varias rutas de acceso, a continuación, la información sobre el caso después que ocurra primero que sucede es codificada en la Probabilidad de Amplitud. La amplitud de una Única ruta de acceso es esencialmente la cantidad de $e^{iS}$, donde S es la acción. Para calcular la Probabilidad de la amplitud de la suma de la amplitud para cada posible ruta en la que el evento final se puede realizar si el evento Inicial que había sucedido. La Probabilidad de que el evento final que pasa es que el Módulo de la plaza de la probabilidad de la amplitud.

El uso de números Complejos(Y de las Amplitudes de Probabilidad) en la Mecánica Cuántica, de la siguiente manera muy natural como una generalización del concepto de Probabilidad, Y Feynman muy bien lo Ilustra en su libro, "el Espacio-Tiempo de Aproximación a la Mecánica Cuántica No Relativista" o "El Concepto de Probabilidad de la Mecánica Cuántica"

Mientras que uno siempre puede volver a escribir todas las fórmulas de la mecánica Cuántica como 2 números reales, sin Embargo, a continuación, la belleza, y su simplicidad se pierde.

Answer 3

Si usted realmente desea, puede formular las leyes de la física sin el uso de los números imaginarios - véase, por ejemplo, la Física matemática sin $\sqrt{-1}$

Digamos que usted necesita para hacer una descomposición de fourier de una función $f$ con el fin de encontrar cómo algunas responde a ser impulsado en $f$.

Si usted piensa de nuevo, la transformada de fourier de la descomposición normalmente se presentó con sólo números reales, y una función de $f$ se descompone en pares e impares de las partes, que puede ser representada como una serie infinita de los cosenos y senos, respectivamente, y que sin duda podría hacer eso. Sin embargo, si vemos la $f$ como la parte real de algunos valores complejos de la función, las ecuaciones son mucho más simples.

Si esto hace que te preguntes si los valores complejos de la función es "más real" de la parte real, y cuál es el significado físico, se podía ver a $f$ $\frac{1}{2}(z + \bar{z})$ donde $z$ es la función compleja; a continuación, $z$ $\bar{z}$ tanto no tienen significado físico, pero que formalmente satisfacer las ecuaciones que rigen el sistema, por lo que su suma debe ser también.

Answer 4

Es sólo una herramienta matemática¹, que es especialmente útil para retratar algunos tipos de vectores y las ondas sinusoidales. No tiene un verdadero "significado" aquí, y podemos hacer bien whthout (cálculos se vuelven más tedioso)

Por ejemplo, en el análisis de circuitos, convertir el par de coordenadas $(V,\phi)$ (que no es lineal; la adición de los dos voltajes no necesita agregar sus fases) en el par de coordenadas $(V\cos\phi,V\sin\phi)$, que es lineal. Ahora, en lugar de escribir es como un par de coordenadas, que se escribe como un número complejo (que es, básicamente, un par de números) y, a continuación, observe que podemos extender esto al concepto de impedancia e incluso ser capaces de dividir por estos números y obtener la respuesta correcta. Escrito tensión de $(V\cos\phi)\hat i +(V\sin\phi)\hat j$ todavía le daría un sistema lineal, pero no podemos dividir por vectores, así que es una aplicación limitada.

En la mecánica cuántica, el uso es similar -- estamos expresando un lineal de la cantidad con una fase. De nuevo, esto es una no lineal par de coordenadas, pero la reescritura como un número complejo nos da un par de coordenadas lineal que juega bien con la multiplicación y la división. Cuando traemos álgebra lineal en ella, se ve que la representación es aún más apto.

De nuevo, es sólo una herramienta o una representación. No tiene ningún significado real.

^{1. Como @MBN se mencionan a continuación, los números reales son una herramienta matemática, demasiado. No podemos "directamente" medida de los números reales.}

Answer 5

@Prathyush la respuesta es totalmente correcta y proporciona buenas referencias, pero yo sólo quería añadir que detrás de su discusión acerca de las fases y la ruta de las integrales es el concepto de la unitaria y la conservación de la probabilidad, que es un concepto físico, y el OP le preguntó acerca de lo que los números imaginarios "mapa físicamente". Pensando en la imagen de Heisenberg uno puede escribir cada operador como una verdadera matriz diagonal y un conjunto de asignaciones (rotaciones) entre estos operadores, pero en fin para todo, para conservar la probabilidad es absolutamente esencial que estas rotaciones contener los números imaginarios, en general, como cualquier operador unitario puede ser escrito como $\exp{i \hat{H}}$ donde $\hat{H}$ es un Hermitian operador (con real de los autovalores). Es similar para otro muy especial rotación en el espacio de Hilbert, que es el tiempo de evolución, sin el cual no habría física como tal. Esto tiene una profunda conexión con la relación entre la Lie y álgebras de Lie grupos.

Sin los números complejos, no tenemos unitarity y de conservación de la probabilidad o de la que sería llevado a un trivial de la teoría cuántica que no es dinámico!