¿Es una 3-variedad compacta, simplemente conectado necesariamente $S^3$ $B^3$ ' s eliminado?

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto, simplemente conectado 3-colector (que es también suave y conectado). Es $M$ diffeomorphic a $S^3$ con un número finito de $B^3$'s de eliminar?

Esto parece hecho a mano, pero nunca he llegado a través de ella.

Mi razonamiento: Si $\partial M = \emptyset$, $M$ $S^3$ por Perelman del teorema (Conjetura de Poincaré). De lo contrario, $\partial M$ es finito, de la unión de superficies cerradas. Simple-conectividad implica $M$ (y por lo tanto $\partial M$) es orientable. Simple-conectividad también implica que el mapa de la $H_1$ inducida por la inclusión $i:\partial M \hookrightarrow M$ es el cero mapa, por lo que "la vida media, la mitad muere" da $$\operatorname{rank}(H_1(\partial M))=2\operatorname{rank}(\ker i_*)=2 \operatorname{rank}(H_1(\partial M)).$$ Por lo tanto,$H_1(\partial M)=0$, lo que implica que $\partial M$ es una unión de 2-esferas. Coronando estos componentes del borde de 3 bolas (que conserva el grupo fundamental), se obtiene un compacto, simplemente conectado 3-colector $M'$, que es cerrada, por lo tanto diffeomorphic a $S^3$. Por lo tanto $M$ es diffeomorphic a $S^3$ con un número finito de 3 bolas eliminado.

Answer 1

La respuesta es sí.

Enfoque 1: Como en el argumento original, es suficiente para mostrar que todos los componentes del borde son homeomórficos a $S^2$, ya que puede, a continuación, de forma exclusiva pegamento en 3-bolas para producir un cerrado 3-colector de que todavía está simplemente conectado, por lo tanto diffeomorphic a $S^3$. Aquí hay dos maneras de mostrar que $\partial M=S^2 \sqcup \cdots \sqcup S^2$:

1. "La vida media, la mitad muere" muestra $H_1(\partial M)=0$, por lo tanto $\partial M$ se compone de copias de $S^2$.

2. De Dan: Poincaré-Lefschetz la dualidad y simple-conectividad dar $H_2(M,\partial M)\cong H^1(M) \cong 0$, por lo que parte de los ARCHIVOS para $(M,\partial M)$ lee $0 \cong H_2(M,\partial M)\to H_1(\partial M)\to H_1(M)\cong 0$. Esto implica $H_1(\partial M)=0$.

Enfoque 2: El límite de los componentes de $M$ están cerrados orientable superficies, por lo que puede ser rellenado con 3 dimensiones handlebodies. Observar que el encolado en handlebodies conserva simple de conexión, independientemente de la encolado de los mapas, ya que cualquier bucle en un handlebody $Y$ tiene un representante en $\partial Y$ que debe ser nullhomotopic cuando se ve en $M$. Llenado en todos los componentes del borde produce un cerrado simplemente conectado 3-colector, es decir,$S^3$. Ahora nos funciona a la inversa: El complemento de un handlebody en $S^3$ es simplemente conectado sólo si el handlebody tiene género cero, es decir, se $B^3$. De ello se desprende que $M$ $S^3$ $B^3$'s eliminado.