Deje que $G$ ser un grupo. Definimos $H$ donde $H$ es el centro de/centralizador de $G$ :
$$H=\{h \in G| \forall g \in G: hg=gh\}.$$
Demuestra que $H$ es un subgrupo (normal) de $G$ .
Deje que $G$ ser un grupo. Definimos $H$ donde $H$ es el centro de/centralizador de $G$ :
$$H=\{h \in G| \forall g \in G: hg=gh\}.$$
Demuestra que $H$ es un subgrupo (normal) de $G$ .
Como has dicho en un comentario ya has demostrado que es normal. Así que sólo voy a mostrar que es un subgrupo.
Está claro que contiene $e$ ya que $eg = ge$ .
Ahora, demostraremos que está cerrado. Sea $a,b \in H$ sabemos que $\forall g: ag = ga$ y $gb = gb$ . Así, $gab = agb = abg$ y por lo tanto $ab \in H$ .
Ahora sólo tenemos que demostrar que cada $h \in H$ tiene una inversa y hemos terminado. Sea $h \in H$ sabemos que $\forall g \in G: gh = hg$ Por lo tanto $$\begin{align*}h^{-1}(gh)h^{-1} &= h^{-1}(hg)h^{-1}\\ h^{-1}g(hh^{-1}) &= (h^{-1}h)gh^{-1}\\ h^{-1}(ge) &= (eg)h^{-1}\\ h^{-1}g &= gh^{-1} \end{align*}$$
Lo que implica que $h^{-1} \in H$ .
Tengo dos soluciones diferentes. Probablemente sean demasiado sofisticadas para este problema, pero pueden ser interesantes.
Para la primera solución, defina el mapa $f: G \rightarrow \operatorname{Aut}(G)$ por $g \mapsto \phi_g$ , donde $\phi_g(x) = gxg^{-1}$ para todos $x \in G$ . El mapa $f$ es un homomorfismo y $\operatorname{Ker}(f) = Z(G)$ . Así, $Z(G)$ es un subgrupo normal ya que el núcleo de un homomorfismo es siempre un subgrupo normal. La imagen $\operatorname{Im}(\phi)$ se llama grupo de automorfismo interno de $G$ y se denota $\operatorname{Inn}(G)$ .
Para la segunda solución, recordemos que para un subgrupo $H \leq G$ el núcleo normal de $H$ en $G$ se define como
$$\operatorname{core}_G(H) = \bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$$
El subgrupo $\operatorname{core}_G(H)$ es siempre un subgrupo normal. Esto se puede ver directamente o notando que es el núcleo de la acción del coset inducida por $H$ . Para cualquier clase de conjugación $C$ de $G$ , dejemos que $t_c \in C$ . Dejemos que $\mathscr{C}$ sea la familia de todas las clases de conjugación de $G$ . Entonces \begin{align*} Z(G) &= \bigcap_{g \in G} C_G(g) \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \bigcap_{t \in C} C_G(t_c) \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \bigcap_{g \in G} C_G(gt_cg^{-1}) \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \bigcap_{g \in G} gC_G(t_c)g^{-1} \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \operatorname{core}_G(C_G(t_c)) \\ \end{align*}
Desde $Z(G)$ es la intersección de subgrupos normales, es un subgrupo normal.
Creo que el argumento del núcleo (el nº 1 de Mikko) es el enfoque más elegante. pero sxd muestra con minuciosidad que el centro es un grupo, y quizá merezca la pena mencionar de pasada que una vez que sabemos que es un grupo, su normalidad está implícita por el hecho de que consta de clases de conjugación completas, aunque todas sean singletons.
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No, era la pregunta de mi examen. Acabo de terminarla. Creo que lo logré hasta una parte para demostrar que es normal. Pero no pude demostrar que es un subgrupo.
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proofwiki.org/wiki/Centro_es_un_Subgrupo_Normal
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Creo que esto responde a todo. Gracias.
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Sólo por curiosidad: ¿qué significa demostrar que es normal sin demostrar que es un subgrupo?
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@ShreevatsaR Let $S$ sea un subconjunto de un grupo $G$ . Decimos que $S$ es un subconjunto normal de $G$ si para todo $s\in S$ y $g\in G$ tenemos $g^{-1}sg\in S$ . En particular, un subconjunto $S$ de $G$ es un subgrupo normal de $G$ si y sólo si $S$ es un subgrupo de $G$ y $S$ es un subconjunto normal de $G$ .
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@AmiteshDatta: Gracias.