Probar que el centro de un grupo es un subgrupo normal

Question

Deje que $G$ ser un grupo. Definimos $H$ donde $H$ es el centro de/centralizador de $G$ :

$$H=\{h \in G| \forall g \in G: hg=gh\}.$$

Demuestra que $H$ es un subgrupo (normal) de $G$ .

Answer 1

Como has dicho en un comentario ya has demostrado que es normal. Así que sólo voy a mostrar que es un subgrupo.

Está claro que contiene $e$ ya que $eg = ge$ .

Ahora, demostraremos que está cerrado. Sea $a,b \in H$ sabemos que $\forall g: ag = ga$ y $gb = gb$ . Así, $gab = agb = abg$ y por lo tanto $ab \in H$ .

Ahora sólo tenemos que demostrar que cada $h \in H$ tiene una inversa y hemos terminado. Sea $h \in H$ sabemos que $\forall g \in G: gh = hg$ Por lo tanto $$\begin{align*}h^{-1}(gh)h^{-1} &= h^{-1}(hg)h^{-1}\\ h^{-1}g(hh^{-1}) &= (h^{-1}h)gh^{-1}\\ h^{-1}(ge) &= (eg)h^{-1}\\ h^{-1}g &= gh^{-1} \end{align*}$$

Lo que implica que $h^{-1} \in H$ .

Answer 2

Sxd ha demostrado que es un subgrupo.

De aquí se deduce que es normal:

Dejemos que $x\in Z(G)$ (centro de $G$ ).

Entonces, para cualquier $g\in G$ , $gxg^{-1}=gg^{-1}x=x\in Z(G)$ .

Esto demuestra $Z(G)$ es un subgrupo normal.

Answer 3

Tengo dos soluciones diferentes. Probablemente sean demasiado sofisticadas para este problema, pero pueden ser interesantes.

Para la primera solución, defina el mapa $f: G \rightarrow \operatorname{Aut}(G)$ por $g \mapsto \phi_g$ , donde $\phi_g(x) = gxg^{-1}$ para todos $x \in G$ . El mapa $f$ es un homomorfismo y $\operatorname{Ker}(f) = Z(G)$ . Así, $Z(G)$ es un subgrupo normal ya que el núcleo de un homomorfismo es siempre un subgrupo normal. La imagen $\operatorname{Im}(\phi)$ se llama grupo de automorfismo interno de $G$ y se denota $\operatorname{Inn}(G)$ .

Para la segunda solución, recordemos que para un subgrupo $H \leq G$ el núcleo normal de $H$ en $G$ se define como

$$\operatorname{core}_G(H) = \bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$$

El subgrupo $\operatorname{core}_G(H)$ es siempre un subgrupo normal. Esto se puede ver directamente o notando que es el núcleo de la acción del coset inducida por $H$ . Para cualquier clase de conjugación $C$ de $G$ , dejemos que $t_c \in C$ . Dejemos que $\mathscr{C}$ sea la familia de todas las clases de conjugación de $G$ . Entonces \begin{align*} Z(G) &= \bigcap_{g \in G} C_G(g) \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \bigcap_{t \in C} C_G(t_c) \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \bigcap_{g \in G} C_G(gt_cg^{-1}) \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \bigcap_{g \in G} gC_G(t_c)g^{-1} \\ &= \bigcap_{C \in \mathscr{C}} \operatorname{core}_G(C_G(t_c)) \\ \end{align*}

Desde $Z(G)$ es la intersección de subgrupos normales, es un subgrupo normal.

Answer 4

Creo que el argumento del núcleo (el nº 1 de Mikko) es el enfoque más elegante. pero sxd muestra con minuciosidad que el centro es un grupo, y quizá merezca la pena mencionar de pasada que una vez que sabemos que es un grupo, su normalidad está implícita por el hecho de que consta de clases de conjugación completas, aunque todas sean singletons.