Vamos a tomar Kan complejos como nuestros espacios. A continuación, el fundamental groupoid functor $\Pi$ envía homotópica Kan complejo de morfismos naturalmente isomorfo functors de groupoids. En particular, se envía homotopy equivalencias de Kan complejos de equivalencias de groupoids. Usted puede probar esto simplemente por ver a un homotopy entre el $f,g:K_1\to K_2$ como un mapa de $K_1\times I\to K_2$ la restricción de a $f,g$. Que análoga descripción reduce natural isomorphisms en groupoids a functors, por lo que la demanda sigue tan pronto como una muestra $\Pi$ conserva finito de productos, que es sencillo. Del mismo modo, el nervio functor de groupoids a Kan complejos envía natural isomorphisms a homotopies, ya $N$ como un derecho adjoint ciertamente conserva los productos.
Así que tenemos una contigüidad $\Pi:\mathrm{Kan}\to \mathrm{Gpd}:N$ en el que ambos adjoints preservar la correspondiente noción de la debilidad de la equivalencia. Esto automáticamente da lugar a una contigüidad entre el homotopy categorías. Si esto no está claro, es fácil ver a partir de las 2-universal de la propiedad de la localización, que la gente por desgracia, a menudo se olvide de estado. La localización de la $\mathrm{Ho(Kan)}$ de Kan complejos en homotopy equivalencias tiene la característica universal de que la categoría de functors $\mathrm{Ho(Kan)}\to D$ es isomorfo a la categoría de functors $\mathrm{Kan}\to D$ que enviar homotopy equivalencias de isomorphisms. Esto da, en particular, un functor $N\Pi:\mathrm{Ho(Kan)}\to \mathrm{Ho(Kan)}$ con una unidad de $\eta:1\to N\Pi$, y de manera similar a $\Pi N$ $\varepsilon$ $\mathrm{Ho(Gpd)}$ lado, la satisfacción de el triángulo de las identidades.
Más en general, para cada categoría de pequeña $J$ hemos levelwiss fundamental groupoid y el nervio functors $\Pi^J:\mathrm{Kan}^J\to \mathrm{Gpd}^J:N^J$. Estos son todavía adjoint (hecho general, por ejemplo de 2-functoriality de exponenciación por $J$) y aún conservan débil equivalencias en el functor categorías, que son levelwise homotopy equivalencias de Kan complejos o equivalencias de groupoids, respectivamente. Por lo tanto, por el mismo argumento desde arriba, para cada $J$ tenemos una contigüidad $\Pi^J:\mathrm{Ho(Kan}^J)\to \mathrm{Ho(Gpd}^J):N^J$. Nota esta contigüidad es 2 natural en $J$, de nuevo por 2-functoriality interna de la hom de categorías.
Ahora el homotopy colimit functor es caracterizado como el de la izquierda adjoint $\mathrm{hocolim:Ho(Kan}^J)\to \mathrm{Ho(Kan}):\Delta$, donde el derecho adjoint $\Delta$ es la constante diagrama functor: que es, homotopy colimits se derivan colimits, Dado un $J$-diagrama en forma de complejos de Kan $X$, queremos mostrar a $\Pi(\mathrm{hocolim}X)\cong \mathrm{hocolim}(\Pi X)$, donde la mano derecha de la $\Pi$ es levelwise. Este es un caso de la siguiente situación general.
Dado cualquier 2-transformación natural $\alpha: F\to G$, obtenemos una colección de cuadrados lo que indica que $\alpha_aF(u)=G(u)\alpha_b$ por cada $u:b\to a$ en el dominio común de $F,G$. Lo que sucede a esta plaza cuando tomamos a la izquierda adjoints $F(u)_!,G(u)_!$ de las imágenes de $u$? (Esto es exactamente lo que queremos hacer en el ejemplo a la mano, al $u:*\to J$ es el único functor en $\mathrm{Cat}^{\mathrm{op}}$, lo que induce a la diagonal functor sobre exponentiating por $\mathrm{Gpd}$ o $\mathrm{Kan}$.)
Generalmente no hay conmutativa de la plaza de adjoints. Lo que sí tenemos es un 2-morfismos $\xi:G(u)_!\alpha_a\to \alpha_bF(u)_!$ llamado el mate, dado por $G(u)_!\alpha_a\to G(u)_!\alpha_aF(u)F(u)_!=G(u)!G(u)\alpha_bF(u)_!\to \alpha_bF(u)_!$, utilizando la unidad de $F(u)$ y el recuento de $G(u)$. Pidiendo $\xi$ a ser un isomorfismo está pidiendo, en nuestro ejemplo, exactamente para $\Pi$ a preservar $J$-en forma de colimits: $\xi$ es la canónica mapa de $\mathrm{hocolim}(\Pi X)\to \Pi(\mathrm{hocolim} X)$.
Así que, ¿por qué nuestro $\xi$ iso? Esto, de nuevo, un general 2-categórica respuesta. Supongamos que el $\alpha$s tienen derecho adjoints $\beta$. Entonces el conjugado de a $\xi$ es una transformación natural $\zeta$ entre el derecho adjoints de el dominio y el codominio de $\xi$. Es decir, $\zeta:\beta_bF(u)\to \beta_aG(u)$. Por la definición de conjugar (ver Maclane, alrededor de la página 98), $\xi$ es un isomorfismo si y sólo si $\zeta$ es. Se puede comprobar que $\zeta$ es el otro compañero de nuestro cuadrado $\alpha_aF(u)=G(u)\alpha_b$, o leer el resultado general acerca de la compatibilidad de los compañeros, con el pegado de Kelly y de la Calle de los Elementos de 2-categorías.
$\zeta$ es entonces una iso si $\beta_bF(u)=\beta_aG(u)$, y si $\beta$ es correcto adjunto a $\alpha$ en el 2-categoría de flechas y conmutativa plazas. Esta es, probablemente, claro: esto viene de otro papel fundamental en 2-categoría de teoría, Kelly Doctrinales de Contigüidad. El correspondiente teorema, demostrado en las tres primeras páginas del documento, es que la contigüidad en un 2-categoría levanta a una 2-categoría de álgebras de un 2-mónada, por ejemplo, un levelwise contigüidad levanta a una 2-categoria 2-functors, si y sólo si la izquierda adjunto admite una estructura de 2-isomorfismo cuyo compañero le da la estructura de un pseudo-morfismos a la derecha adjoint (Para nosotros, la izquierda adjunto tiene una estricta estructura, ya que el original de la plaza de viajes.) En nuestro ejemplo,$\beta$$N$, y la contigüidad es, como se mencionó anteriormente, lo suficientemente natural. Por lo tanto $\zeta$ es la iso, por lo que es $\xi$, e $\Pi$ conserva homotopy colimits.
Nota realmente hemos demostrado que esto es cierto para cualquier débiles equivalencia preservación de la contigüidad de las categorías relativas que admitir homotopy colimits. Este es también, en cierto sentido, un modelo independiente de la prueba: cualquier situación en la que se puede hablar de homotopy colimits se satisfacen las condiciones necesarias para hacer de este argumento.
