¿"Por qué" no es homeomorfa a $\mathbb{CP}^2\mathbin{\#}\mathbb{CP}^2$ $\mathbb{CP}^2\mathbin{\#}\overline{\mathbb{CP}^2}$?

Question

Como lo que yo puedo decir, $\mathbb{CP}^2\mathbin{\#}\mathbb{CP}^2$ no es homeomórficos a $\mathbb{CP}^2\mathbin{\#}\overline{\mathbb{CP}^2}$. Esto es debido a que $\mathbb{CP}^2\#\mathbb{CP}^2$ tiene una clara intersección formulario, pero la intersección en forma de $\mathbb{CP}^2\mathbin{\#}\overline{\mathbb{CP}^2}$ es de carácter indefinido, y cualquier homeomorphism sólo puede cambiar la firma de la intersección que se forma por $\pm{1}$ según si se conserva o cambia la orientación.

(Pregunta 1: ¿este argumento está bien?)

Ahora, en algún nivel, me parece que este completamente flummoxing. Los colectores $\mathbb{CP}^2$ y $\overline{\mathbb{CP}^2}$ $\it{are}$ homeomórficos (no como colectores con orientación sin embargo, desde la $\mathbb{CP}^2$ no tiene la orientación de la inversión, la auto-homeomorphisms). Así que tome dos copias de la misma colector y la cola, pero la segunda vez que haces el encolado de la segunda colector en el espejo (pero esta imagen es todavía homeomórficos a la original!), y se obtienen dos resultados diferentes. Eh?

Creo que me debe faltar algo sutil que sucede en el conectado operación de suma.

Pregunta 2: ¿alguien sabe lo que me falta, y tiene una manera de hacer esta discrepancia entre el resultado colectores parecen menos intuitivo?

Answer 1

Vamos a romper el conectado operación de suma que, dado conectado colectores $X,Y$, produce un colector $X \# Y$.

1. Elegir cerrado bolas $B_X \subset X$, $B_Y \subset Y$ cuyos límites $S_X = \partial B_X$, $S_Y = \partial B_Y$ son suavemente incrustado.
2. Considerar el colector con límite de $X - \text{interior}(B_X)$, cuyo límite es $S_X$.
3. Tenga en cuenta también el colector con límite de $Y - \text{interior}(B_Y)$, cuyo límite es $S_Y$.
4. Elegir un diffeomorphism $f : S_X \to S_Y$.
5. Deje $X \# Y$ ser el cociente de la inconexión de la unión de $X - \text{interior}(B_X)$$Y - \text{interior}(B_Y)$, donde cada una de las $x \in S_X$ es identificado hasta el punto de $f(x) \in S_Y$.

Las decisiones tomadas en esta construcción se han puesto de relieve, y definitivamente hay un no-tan-sutil problema aquí: Es la construcción de un bien definido independiente de las decisiones tomadas?

Es posible demostrar que la construcción es independiente de las opciones de $B_X$$B_Y$. Así que vamos a establecer a un lado.

También, es posible demostrar que la construcción es independiente de la elección de $f_X$ hasta suave isotopía. Este es un buen ejercicio que usted debe tratar de, en particular, para ver exactamente cómo la hipótesis de la "suave isotopía" se utiliza, y para tener una idea de por qué es razonable que la resultante conectado sumas en realidad podría diferir cuando lisa isotopía falla.

En general no hay ninguna razón para esperar que si $f_X$, $f'_X$ no sin problemas isotópico, a continuación, $X \# Y$ construido usando $f_X$ es el "mismo" $X \#' Y$ construido usando $f'_X$.

En su ejemplo, ya que la $\overline{\mathbb{CP}^2}$ $\mathbb{CP}^2$ tienen orientaciones opuestas, los dos encolado de los mapas no son ni siquiera homotópica, vamos a lo largo sin problemas isotópica.

Agregado comentarios en el orientado a la categoría: En el caso de que $X,Y$ ambos están orientados, entonces no es un concepto natural "orientada conectado suma". En este caso, cada una de las $X - \text{interior}(B_X)$ $Y - \text{interior}(B_Y)$ heredar orientaciones mediante la restricción y, a continuación, cada una de las $S_X,S_Y$ heredar la frontera natural de orientaciones. Entonces se requiere que el encolado mapa de $f : S_X \to S_Y$ ser la orientación de revertir. Con este requisito, se obtiene una orientación natural en $X \# Y$ cuyas restricciones a $X - \text{interior}(X)$ $Y - \text{interior}(Y)$ está de acuerdo con las orientaciones restringido de$X$$Y$.

Ahora, volviendo a los ejemplos originales. Cada una de las $\mathbb{CP}^n$ $\overline{\mathbb{CP}^n}$ están orientados a los colectores y las notaciones $\mathbb{CP}^n \# \mathbb{CP}^n$ $\mathbb{CP}^n \# \overline{\mathbb{CP}^n}$ conjuntamente hacer cumplir la intención de que esta conectado suma es, de hecho, una orientada conectado suma (si no fuera la intención, ¿por qué el "overline" símbolo en la parte superior de una de las $\mathbb{CP}^n$'s?).

Yo mismo como para pensar de $\mathbb{CP}^n$ $\overline{\mathbb{CP}^n}$ como independientes el uno del otro como puedo estirar mi imaginación para pensar, ya que reduce mi interior confusión mental (que tiene un montón de reducción). Tal vez decidan a pensar en ellos como el "mismo colector", pero si es así, entonces usted está obligado a recordar en todo momento que tienen orientaciones opuestas. Voy compromiso: voy a pensar en algunos colectores como "copias" de otras variedades.

Por lo tanto, vamos a pensar de $X$ como una copia de $\mathbb{CP}^n$. Usted puede decidir a pensar de $Y$ como otra copia de $\mathbb{CP}^n$ pero tienes que seguir la pista de orientación: $Y$ tiene la misma orientación, por lo tanto $Y$ es una copia de $\mathbb{CP}^n$ sí; o $Y$ tiene la orientación opuesta, por lo tanto $Y$ es una copia de $\overline{\mathbb{CP}^n}$.

En el caso de que $Y$ es una copia de $\mathbb{CP}^n$, incluso si usted decidió pensar en la quita pelotas $B_X,B_Y$ como copias de "la misma bola", y pensar en las esferas $S_X,S_Y$ como copias de "la misma esfera", el mapa de $f : S_X \to S_Y$ debe invertir la orientación de esta esfera. Por lo tanto $f$ no puede ser elegido para ser el mapa de identidad.

En el otro caso que $Y$ es una copia de $\overline{\mathbb{CP}^n}$, también podría decidir a pensar que elimina las bolas $B_X,B_Y$ como copias de "la misma bola", sin embargo $B_Y$ ha opuesto a la orientación de $B_X$. Y entonces es probable que también decida pensar de $S_X,S_Y$ como copias de "la misma esfera", sin embargo $S_Y$ ha opuesto a la orientación de $S_X$. Ahora, cuando se trata de elegir el homeomorphism $f : S_X \to S_Y$, usted está, de hecho, perfectamente libre para elegir el mapa de identidad, debido a que el mapa se invierte la orientación de$S_X$$S_Y$.