¿Cómo afecta la variación de la temperatura a la precisión del reloj de péndulo de la abuela?

Question

Tengo un reloj de péndulo antiguo (¡de mi abuela!) . Si lo detallo,

Este reloj mide aproximadamente 1,5 metros de altura y está encerrado en madera y bajo él oscila su glorioso péndulo.

Dio una hora más o menos correcta. Pero luego vi que iba lento. Pensé que el muelle interior se había relajado. Pero para mi sorpresa, no era así. Estaba todo en su sitio. Sin embargo, estaba dando un tiempo más lento. Era el tiempo de verano y la temperatura estaba por encima de $37^\circ$ celcius.

Entonces, ¿hay alguna relación entre la temperatura y el periodo de tiempo de este péndulo? Si es así, ¿cómo puedo evitarlo?

Answer 1

Hay muchos, muchos factores que afectan a la precisión de un péndulo. Hay un reloj de péndulo bastante famoso en el campanario del Trinity College, en Cambridge, que es objeto de un buen número de análisis y controles científicos (mantiene la hora con más de un segundo al mes). Los "guardianes" del reloj escribieron un debate detallado sobre los factores que afectan a su precisión

Esto nos habla de una serie de cosas de las que hay que preocuparse cuando se quiere un reloj realmente preciso:

• Longitud del péndulo
• Amplitud de movimiento
• Temperatura
• Cambios en la gravedad
• Cambios en la densidad del aire (humedad, presión barométrica)

y procede a estimar (para ese reloj en particular) el efecto que podrían tener estos factores. El cambio de tiempo por día debido a la variación de la longitud, por ejemplo, viene dado con una muy buena aproximación por

$$\Delta T = T\frac{\Delta L}{2L}$$

(en realidad se trata de una expansión de primer orden de la expresión "exacta" que ROIMaison dio en su respuesta). Así pues, si se calcula el cambio de longitud (coeficiente de dilatación térmica por cambio de temperatura) se puede obtener el cambio de "ida" (segundos perdidos o ganados por día) directamente a partir de la expresión anterior.

El reloj Trinity tiene todo tipo de mecanismos de compensación: un compensador barométrico, corrección de la expansión térmica, etc. Por cierto, el mecanismo de un péndulo compensado térmicamente es bastante ingenioso: mirando la figura 4 del enlace anterior vemos

Las varillas "abajo" tienen un coeficiente de dilatación térmica y las varillas "arriba" tienen otro: eligiendo cuidadosamente sus longitudes relativas en función de este coeficiente, es posible hacer que la bobina se mantenga a una distancia constante por debajo del pivote.

Cualquier número de cosas puede dar lugar a cambios en la precisión de su reloj - el cambio de temperatura puede cambiar la fricción y, por lo tanto, la amplitud, así como la longitud, por dar sólo un ejemplo; espero que después de leer el documento vinculado usted tenga una mejor apreciación del ingenio de los fabricantes de relojes y los problemas que enfrentan.

Otros enlaces que vale la pena leer:

Sobre el reloj del Trinity College
Sobre el proyecto de seguimiento del reloj del Trinity College
Entrada de Wikipedia sobre el reloj de péndulo

Answer 2

Las dos longitudes vienen dadas por:

$$L_{normal}=L$$ $$L_{summer}=L+\alpha \Delta T L$$

Con $\alpha$ el coeficiente de dilatación térmica, $12.0 \times 10^{-6} \: m/m \: K$

Así, los dos periodos se convierten en: $$Period_{normal}=2 \pi \sqrt{\frac{L_{normal}}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$ $$Period_{summer}=2 \pi \sqrt{\frac{L_{summer}}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{L+\alpha \Delta T L}{g}}$$

La relación entre ambos es entonces: $$\frac{Period_{summer}}{Period_{normal}}=\frac{2 \pi \sqrt{\frac{L+\alpha \Delta T L}{g}}}{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}}=\sqrt{1+\alpha \Delta T}$$

Esto se puede escribir como la siguiente serie de Taylor: $$\frac{Period_{summer}}{Period_{normal}}=\sqrt{1+\alpha \Delta T}=1+\frac{\alpha \Delta T}{2}- \frac{\left(\alpha \Delta T\right)^2}{8} + \frac{\left(\alpha \Delta T\right)^3}{16} - \frac{5\left(\alpha \Delta T\right)^4}{128} + \dots$$ Con la aproximación de primer orden igual a: $$\frac{Period_{summer}}{Period_{normal}} \approx 1+\frac{\alpha \Delta T}{2}$$ Suponiendo que el reloj está en el interior, y que la temperatura normal es de 20°, tenemos $\Delta T=17 K$ . La diferencia para un día se convierte entonces en: $$\Delta t_{day} \approx 24 \cdot 3600 \cdot \frac{\alpha \Delta T}{2} \approx 9\: \mathrm{seconds}$$ .

Esto me parece mucho, pero de nuevo, esto es con la suposición de que la diferencia de temperatura es de 17° grados durante todo el día, lo que obviamente no es. Si suponemos que la temperatura varía como la primera mitad de una onda sinusoidal entre 20° y 37°, proporcionando así una diferencia de tiempo de 0 cuando la temperatura es de 20°, y $\frac{\alpha \Delta T}{2}$ cuando la temperatura es de 37°.

La expansión media está descrita por:

$$\frac{\int_0^{\pi} \frac{\alpha \Delta T}{2} \cdot sin( \pi \cdot t)}{\pi}=\frac{\alpha \Delta T}{\pi}$$

Lo que equivale a $24 \cdot 3600 \cdot \frac{\alpha \Delta T}{\pi} \approx 5 \: \mathrm{seconds}$ al día, lo que sigue siendo bastante.