Pendiente plana fielmente sobre álgebras de Hopf en términos de estructuras de comodule

Question

Dejar que Un ser finito (dimensiones gradual cocommutative) álgebra de Hopf sobre un campo k, E una subalgebra de Hopf, y R=A \otimes_E k. A continuación, el comultiplication en Un induce un coalgebra estructura en R. por otra parte, R es un coalgebra en la categoría monoidal de a-módulos, con Una actuación en R \otimes R en diagonal a través de la comultiplication. Definir un interno R-comodule a ser un objeto M que es al mismo tiempo un a-módulo y un R-comodule tal que el mapa de la estructura de M \R \otimes M es un mapa de los módulos, para la diagonal de Un módulo de estructura en el producto tensor.

Un sí es, naturalmente, un interno R-comodule, a través de la comultiplication Un \\otimes \R \otimes A. Para cualquier E-módulo N, \otimes_E N, entonces hereda un interno R-comodule estructura de A. por el Contrario, si M es un R-comodule, N={m:d(m)=1 \otimes m} es un módulo electrónico, donde d:M \R \otimes M es el mapa de la estructura.

Es cierto (posiblemente en algunas razonable definición de hipótesis) de que estos dos functors entre los módulos electrónicos internos y R-comodules inverso? En particular, me gustaría interpretar esto en términos de fidelidad plana descenso: Un fielmente plana por Correo, y quiero decir que para un a-módulo M, existe un natural bijection entre el descenso de datos que nos permite identificar a M=a \otimes_E N de un E-módulo N interna y R-comodule estructuras M \R \otimes M.

Lo siento si me estoy poniendo de mal algunas cosas acerca de lo que las hipótesis son necesarios para que esto sentido, estoy tratando de entender esto en un ejemplo concreto y no sabemos mucho de la teoría general.

Answer 1

OK, esta pregunta me sigue molestando, y yo todavía no sé la respuesta. En verdad, yo sospecho que es falso.

Escribo para señalar que sus dos functors son adjunto. Más precisamente, supongamos que tenemos un mapa de R-comodules de

Un tensor_E M --> N

donde M es un módulo electrónico. A continuación, obtenemos un inducida por E-mapa del módulo en el primitivas

P(a tensor_E M) --> PN

Es evidente que existe una mapa M --> P(a tensor_E M)

que lleva m a 1 tensor m. Así, tenemos un E-mapa del módulo M --> PN.

Por el contrario, si tenemos un E-mapa del módulo M --> PN, entonces tenemos un R-comodule mapa

Un tensor_E M --> Un tensor_E PN

luego de la multiplicación de mapa de Un tensor_E PN --> N es un R-comodule mapa, por lo que tenemos

un R-comodule mapa de Un tensor_E M --> N, y esto hace que los functors adjunto.

Answer 2

Un ejemplo muy pequeño donde la respuesta es no:

Supongamos $k$ tiene carácter, no de dos, y $A=k\langle x,y:x^2=1, y^2=0\rangle$ con $\Delta(x)=x\otimes x$, $\Delta(y)=y\otimes 1+x\otimes y$, $\varepsilon(x)=1$ y $\varepsilon(y)=0$; este es el Sweedler álgebra de Hopf. Deje $E$ ser el subHopf álgebra generada por $x$, lo que ha $\{1,x\}$ como base. A continuación, $R=k\otimes_EA$ $\{\overline 1=1\otimes 1,\overline y=1\otimes y\}$ como base, y su coalgebra estructura está dada por $\Delta(\overline 1)=\overline 1\otimes\overline 1$, $\Delta(\overline y)=\overline y\otimes\overline1+\overline1\otimes\overline y$, $\varepsilon(\overline1)=1$ y $\varepsilon(\overline y)=0$.

Desde $E\cong k\times k$ como el álgebra, la categoría de $\mathrm{Mod}_E$ es semisimple.

Por otro lado, supongamos $M\in\mathrm{Mod}_A^R$. Uno puede comprobar que el derecho a la $R$-comodule estructura $\rho$ $M$ está determinado por una lineal mapa de $\phi:M\to M$ tal que $\phi^2=0$ por la ecuación $$\rho(m)=m\otimes\overline 1+\phi(m)\otimes\overline y.$$ Similarly, the $Un$-module structure on $M$ is easily seen to be such that $m\cdot y=0$ for all $m\in M$ and $\phi(m\cdot x)=\phi(m)\cdot x$ for all $m\in M$. It follows that one can identify an object $M$ of $\mathrm{Mod}_A^R$ with a $4$-tuple $(M^+,M^-,\phi^+,\phi^-)$ such that $M=M^+\oplus M^-$ is the decomposition of $M$ as direct sum of the eigenspaces of right multiplication by $x$ (the only possible eigenvalues are $1$ and $-1$, and it is diagonalizable) and $\phi^{\pm}:M^\pm\M^\pm$ are the restrictions of the map $\phi$ to $M^+$ and $M^-$ (así, en particular, que la plaza a cero). Por otra parte, morfismos en $\mathrm{Mod}_A^R$ tiene el obvio descripción en términos de estos $4$-tuplas.

Ahora, es muy fácil ver el uso de esta descripción que $\mathrm{Mod}_A^R$ no es semisimple: por ejemplo, el objeto $(k^2,0,\left(\begin{array}{cc}0&1\\\\0&0\end{array}\right),0)$ no es semisimple (de hecho, la categoría es la suma directa de dos copias de la categoría de módulo más de la aljaba $\bullet\to\bullet$). De ello se desprende que $\mathrm{Mod}_E$ $\mathrm{Mod}_A^R$ no son equivalentes en este caso.

(La respuesta es sí, a pesar de que, en los dos casos extremos en los que (i) $E=k$ o (ii) $E=A$ (el primero es el "teorema fundamental de álgebras de Hopf", y la segunda es trivial)

Answer 3

Tengo una sugerencia para usted. Probar cuando A=k[G] de un grupo finito G y E=k[H] para un subgrupo de H. Entonces R debe ser k[G/H], que por supuesto sólo será un coalgebra y no un álgebra de Hopf si H no es normal. Este ejemplo me lleva a dudar de su afirmación de que R es un coalgebra en la categoría de-álgebras, ya que no creo que R es una A-álgebra a menos que E es normal.

De todos modos, el resultado deseado debe ser algo acerca de la inducción y la restricción en este caso. De hecho, un E-módulo N es sólo una representación del H. Un tensor a través de E con N es sólo la inducida por el G-representación.