¿Implica que $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ $\gcd(m,n) = 1$?

Question

Sé que Euler totient función es multiplicativo, en otras palabras $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ siempre $\gcd(m,n) = 1$. Esto no es cierto en general, por ejemplo,$\varphi(2 \cdot 2) \neq \varphi(2)\varphi(2)$. Lo acerca a la inversa? Qué $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ implica que $m$ $n$ son coprime? Tengo la sensación de que esto es cierto. Con un equipo de búsqueda no encontré pequeños contraejemplos. Yo era capaz de probar un par de casos especiales, por ejemplo, $\varphi(p^ap^b) \neq \varphi(p^a)\varphi(p^b)$ siempre $a, b > 1$. Ni idea de cómo probar esto en general.

Answer 1

Sí. En general, $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\frac{d}{\varphi(d)}$ donde $d=\gcd(m,n)$. Cuando $d\neq 1$, esto es sin duda más de $\varphi(m)\varphi(n)$.

Answer 2

Si $\{p_i\}$ primes dividiendo $m$ y $\{q_i\}$ son primos dividiendo $n$, entonces

$\phi(m)\cdot \phi(n)=m(1-\frac{1}{p_1})\dots(1-\frac{1}{p_k})\cdot n(1-\frac{1}{q_1})\dots(1-\frac{1}{q_l}) =$

$ =m n (1-\frac{1}{p_1})\dots(1-\frac{1}{p_k})(1-\frac{1}{q_1})\dots(1-\frac{1}{q_l})$

que es igual a $\phi(mn)$iff $\{p_i\}$ y $\{q_i\}$ son disjuntos.