Examinar la convergencia de $\int_{0}^{1}\left(\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil-\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \, dx$

Question

Bien, estoy tratando de determinar si $\int_{0}^{1}\left(\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil-\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \, dx$ converge y, si es así, a qué valor? Entonces la función $\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil-\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = 0$ cuando $x=\frac{1}{k}$ donde $k$ es un número natural, y en todos los demás casos $\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil-\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = 1$ A partir de ahí dividí la integral:

\begin{align*} \int_0^1 \left(\left\lceil \frac{1}{x} \right\rceil-\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \, dx &= \int_{1/2}^1 1 \, dx +\int_{1/3}^{1/2} 1 \, dx + \int_{1/3}^{1/4} 1 \, dx + \cdots \\[10pt] &= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + \cdots \\[10pt] &= \lim_{m \to \infty} 1-1/m = 1\;. \end{align*}

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí, tienes razón. Pero es mucho más rápido si dices que $\lceil \frac{1}{x} \rceil-\lfloor \frac{1}{x} \rfloor$ es $1$ excepto en un conjunto de medida cero. Si no se sabe cuál es la medida de un conjunto, basta con decir que el conjunto es contable. Entonces $$\int_0^1\left(\left\lceil \frac{1}{x}\right \rceil-\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right)dx=\int_0^11dx=1 $$

Su solución sigue siendo muy bonita.