Qué número es mayor $\pi^3$ o $3^\pi$ ?

Question

$ \pi^3$ o $3^\pi$ usando el álgebra por favor, llego la solución con $a^x > 1 + x$ pero me interesan más soluciones.

Answer 1

Su desigualdad $\pi^3<3^\pi$ equivale a $\frac{\ln(\pi)}{\pi}<\frac{\ln(3)}{3}$ .

Ahora utilice la función $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ para $e<x$ .

Answer 2

Establecer $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ . Entonces, tenemos $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ Desde $f'(x)=0\iff x=e$ sabemos que $f(x)$ es decreciente para $x\gt e$ . Así, obtenemos $$e\lt 3\lt \pi\Rightarrow \frac{\ln 3}{3}\gt \frac{\ln \pi}{\pi}\Rightarrow \pi^3\lt 3^\pi.$$

Answer 3

La función $x \mapsto x^{1/x}$ , $x > 0$ , aumenta de $0$ a $e$ alcanza su máximo en $x = e$ y disminuye después. Así que $3^{1/3} > \pi^{1/\pi}$ . Esto también ayuda a hacer el primer problema de max/min quiz en que asigno a mis estudiantes en una clase de cálculo: Encontrar todos los pares de enteros positivos $m, n$ , $m \neq n$ , $m^n = n^m$ .

Answer 4

Nota : He añadido una nueva y mejor prueba. Para leerla, salta a la sección " Añadido más tarde " a continuación.

Si se le permite utilizar las desigualdades $$\ln3\gt1$$ y $$\ln(1+x)\lt x$$ para $x\gt0$ entonces

$$\log_3\pi={\ln\pi\over\ln3}={\ln3+\ln\left({\pi\over3}\right)\over\ln3}=1+{\ln\left(1+{\pi-3\over3}\right)\over\ln3}\lt1+\left({\pi-3\over3}\right)={\pi\over3}$$

sobre el que se ha

$$\log_3\pi\lt{\pi\over3}\implies3\log_3\pi\lt\pi\implies\log_3\pi^3\lt\pi\implies\pi^3\lt3^\pi$$

(Para estar seguros, el paso clave en esta derivación requiere saber que $3\lt\pi$ .)

Añadido más tarde : Me molestó tener que hacer uso de una desigualdad para el logaritmo natural en un problema que sólo utiliza $\pi$ así que finalmente encontré una manera de evitarlo. Aquí, con todo el andamiaje quitado, es lo que me salió.

En primer lugar, comparando $\pi\approx3.14159$ con $22/7\approx3.14286$ y $69/22\approx3.13636$ tenemos

$${69\over22}\lt\pi\lt{22\over7}$$

Supongamos que podemos demostrar que

$$\left({22\over21} \right)^{22}\lt 3$$

Entonces es fácil ver que

$$\pi^3\lt\left({22\over7}\right)^3 =3^3\left({22\over21}\right)^3 =3^3\left({22\over21}\right)^{22(3/22)} \lt3^33^{3/22} =3^{69/22} \lt3^\pi$$

Ahora la desigualdad clave $(22/21)^{22}\lt3$ podría demostrarse simplemente haciendo un cálculo horrendo. Pero seamos un poco más inteligentes. Obsérvese en primer lugar que

$${22\cdot2\over21^2}={44\over441}\lt{44\over440}={1\over10}\implies \left({22\over21}\right)^2\lt{11\over10}$$

por lo que basta con mostrar $(11/10)^{11}\lt3$ . Esto podría hacerse directamente con un cálculo algo menos horrendo, pero es más fácil observar que

$$\left({11\over10}\right)^3=1.331\lt{4\over3}$$ y $$\left({11\over10}\right)^4={11\over10}\left({11\over10}\right)^3\lt{11\over10}\cdot{4\over3}={44\over30}\lt{45\over30}={3\over2}$$

y por lo tanto

$$\left({11\over10}\right)^{11}=\left({11\over10}\right)^3\left({11\over10}\right)^4\left({11\over10}\right)^4\lt{4\over3}\cdot{3\over2}\cdot{3\over2}=3$$