Constantes de movimiento vs. integrales de movimiento vs. primeras integrales

Question

Como las ecuaciones de la mecánica son de segundo orden en el tiempo, sabemos que para $N$ grados de libertad tenemos que especificar $2N$ condiciones iniciales. Una de ellas es el tiempo inicial $t_0$ y el resto, $2N-1$ son las posiciones y la velocidad iniciales. Cualquier función de estas condiciones iniciales es una constante de movimiento, por definición. Además, debe haber exactamente $2N-1$ constantes de movimiento algebraicamente independientes.

Por otro lado, el procedimiento de Noether nos da integrales de movimiento como resultado de simetrías variacionales de la acción. Estas integrales de movimiento también se conservan, pero no siempre son $2N-1$ en número. En consecuencia, clasificamos el sistema por su integrabilidad.

Entonces, ¿cuál es la diferencia entre el constante de movimiento y integral de movimiento ? ¿Por qué los no sistemas integrables tienen menos integrales de movimiento cuando deberían tener siempre $2N-1$ ¿constantes del movimiento?

Answer 1

1) A constante de movimiento $f(z,t)$ es una función (globalmente definida y suave) $f:M\times [t_i,t_f] \to \mathbb{R}$ de las variables dinámicas $z\in M$ y el tiempo $t\in[t_i,t_f]$ , tal que el mapa $$[t_i,t_f]~\ni ~t\mapstof(\gamma(t),t)~\in~ \mathbb{R}$$ no depende del tiempo para cada curva de solución $z=\gamma(t)$ a la ecuaciones de movimiento del sistema.

Un integral de movimiento/primera integral es una constante de movimiento $f(z)$ que no depende explícitamente del tiempo.

2) En lo que sigue vamos a limitarnos, por simplicidad, al caso en que el sistema es un autónomo de dimensión finita $^1$ Sistema hamiltoniano con hamiltoniano $H:M \to \mathbb{R}$ en un $2N$ -de la variedad simpléctica de las dimensiones $(M,\omega)$ .

Este sistema se llama (Liouville/completamente) integrable si existe $N$ funcionalmente independiente $^2$ , de conmutación de Poisson, globalmente funciones definidas $I_1, \ldots, I_N: M\to \mathbb{R}$ para que el Hamiltoniano $H$ es una función de $I_1, \ldots, I_N$ Sólo.

Este sistema integrable se denomina máximo superintegrable si existe adicionalmente $N-1$ globalmente integrales de movimiento definidas $I_{N+1}, \ldots, I_{2N-1}: M\to \mathbb{R}$ para que el conjunto combinado $(I_{1}, \ldots, I_{2N-1})$ es funcionalmente independiente.

Se deduce de Teorema de Caratheodory-Jacobi-Lie que todo sistema hamiltoniano autónomo de dimensión finita en una variedad simpléctica $(M,\omega)$ es localmente máximamente superintegrable en un tamaño suficientemente pequeño local barrios alrededor de cualquier punto de $M$ (aparte de puntos críticos del hamiltoniano).

El punto principal es que ( global ) la integrabilidad es rara, mientras que local la integrabilidad es genérica.

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$^1$ Un autónomo El sistema hamiltoniano significa que ni el hamiltoniano $H$ ni la dos-forma simpléctica $\omega$ dependen explícitamente del tiempo $t$ .

$^2$ Geometría diferencial exterior $N$ funciones $I_1, \ldots, I_N$ se llaman funcionalmente independiente si $$\forall F:~~ \left[z\mapsto F(I_1(z), \ldots, I_N(z)) \text{ is the zero-function} \right]\Rightarrow F \text{ is the zero-function}.$$ Sin embargo, dentro de la geometría diferencial, que es el marco convencional para los sistemas dinámicos, $N$ funciones $I_1, \ldots, I_N$ se llaman funcionalmente independiente si $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$ no es evanescente en ninguna parte. Equivalentemente, la matriz rectangular $$\left(\frac{\partial I_k}{\partial z^K}\right)_{1\leq k\leq N, 1\leq K\leq 2N}$$ tiene un rango máximo en todos los puntos $z$ . Si sólo $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$ tiene a.e. , entonces hay que despojar estrictamente a la variedad simpléctica $M$ de estas órbitas singulares.