¿Cuáles son Bélgica ' s posibilidades en conseguir una medalla en la final de 400m, ya que tienen 2 de los 8 atletas?

Question

Esta es una pregunta mi esposa y reflexioné sobre en la mesa del desayuno de esta mañana: Bélgica tiene dos atletas en la final de los 400 metros en el Campeonato Mundial de atletismo de este año.

¿Cuáles son Bélgica posibilidades de conseguir una medalla, suponiendo que cada corredor tiene las mismas capacidades? Además, ¿cuál es la fórmula/explicación para el cálculo de este?

Yo que sé, creo que, si tendríamos 1 atleta, sería 3/8, porque hay 3 posibles medallas, y 8 de los atletas que compiten. (Espero que este paso es correcto?)

Pero lo que si tiene 2 atletas? Es, entonces, sólo 6/8? Intuitivamente, que se siente incorrecta. Pero me encantaría recibir una explicación decente de cómo calcular esto.

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination


Hay $\binom82$ posibilidades para que las filas de los atletas en el acabado.

En $\binom52$ de esos, ninguno de ellos consigue una medalla,
así en $\binom82-\binom52$ de ellas, al menos uno de los atletas que obtiene una medalla.

Por lo tanto, la probabilidad es de $\frac{\binom82-\binom52}{\binom82} = \frac9{14}$ .


(Una simple manera de convencerse a sí mismo de que 6/8 debe ser malo es que cuando
aplicar este razonamiento a 3 atletas, se obtiene una 'probabilidad' mayor que 1).

Answer 2

Es más fácil calcular la probabilidad de no ganar una medalla. Hay ${5\elegir 2}=10$ de diferentes maneras para que los dos Borlées para ser colocado en la posición de cuarto a octavo (5 posiciones, dos hermanos). En total hay ${8\elegir 2}=28$ maneras de poner los dos atletas en el 8 ranuras (1º a 8º). Suponiendo que las posiciones son aleatorios (obviamente un tramo de los hechos, pero lo ignoramos), las probabilidades de salir vacío es así $$ \frac{10}{28}=\frac{5}{14}. $$ Por tanto, las posibilidades para un Belga medalla de son $$ 1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}\approx0{,}643 $$ o cerca de 64%.

Estoy enraizamiento para ellos de todos modos :-)

Answer 3

Esto ha sido contestado muy bien, pero voy a responder para que la gente mala en matemáticas.

El primer hermano tiene un 3/8 oportunidad de ganar, el interrogador era correcta.

La parte difícil es la razón por la que el segundo hermano no agregar otro 3/8, y eso es debido a que la pregunta estaba preguntando cuál era la probabilidad de que al menos uno de los hermanos obtuvo una medalla. Por lo tanto, si el primer hermano recibió una medalla, no importa lo que el segundo hermano.

Así que la única manera de que el segundo hermano puede ayudar es si tanto el primer hermano no conseguir una medalla, y el segundo hermano.

Para encontrar la probabilidad de que 2 independientes cosas sucediendo, se multiplica. La probabilidad de que el primer hermano no conseguir una medalla es de 5/8, y la probabilidad de que el segundo hermano no es 3/7. (O. K., 3 de 7 es otro truco. Hemos asumido el primer hermano perdido, así que con él "fuera de carrera" sólo hay 7 personas que tienen una probabilidad de estar en los 3 spots ganadores). Multiplicando da 15/56, que es la posibilidad de que sólo el segundo hermano gana una medalla.

Por lo que la adición de 3/8 desde el primer hermano de la 15/56 de ayuda a partir del segundo hermano, obtenemos 36/56 (como todos los demás, ¡uf!).

Los cálculos de otras personas se basan en generalizaciones de este caso sencillo, para cualquier número de éxitos de cualquier número de intentos, y en la comprensión de que la manera más fácil de pensar acerca de esto en general es contar el número de posibles éxitos de el número de resultados posibles.

Answer 4

Por lo tanto, hay 3 medallas. Tiene 8 finalistas. Usted está interesado en las posibilidades de ganancia de dos de ellos. Usted puede calcular de la siguiente manera: recuento de cuántas maneras se pueden elegir 3 ganadores de las 8 de tal manera que ninguna de ellas es Belga. (Así, por la medalla de oro, que tiene 6 opciones, para el 5 de plata y la de bronce 4.) Divida este número por la cantidad total de posibles combinaciones de los 3 ganadores, independientemente de su nacionalidad. (Ahora tiene 8 opciones de oro, 7 de plata y 6 de bronce.) Usted, a continuación, obtener la probabilidad de que no Belga gana una medalla. El complemento de la probabilidad es la que estás buscando.

La probabilidad de que no se Belga conseguir una medalla es:

$$\frac{6 \5 veces \times 4}{8 \times 7 \times 6} = 0.3571 \; , $$

el complemento lo que de ser

$$\text{Probabilidad de que un Belga conseguir una medalla} = 1- 0.3571 = 0.6429 \; .$$

Esto es lo que el muy poco realista, asunción pesar de que todos los atletas son igual de ajuste, que las condiciones son iguales para ellos, etc...

Answer 5

Hay maneras de \binom83$ $ a los tres ganadores de ocho. Si los belgas no gana, hay maneras de \binom63$ $ a los tres ganadores de los no-belgas. Por lo tanto, la probabilidad de que algunos belgas conseguiría un medel es $1-\binom63/\binom83 = 1-\frac {6! 5! 3!} {3! 3! 8!} = 1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}.$