La búsqueda de la bolsa de herramientas para un gran martillo... la búsqueda de este.
Fix $z$. Escribir la ecuación, el tratamiento de la $y$ en lo desconocido, en la forma
$$
y^2-\frac{zx}{x^2+1}y+1=0.
$$
Esto tiene una solución,$y\in\Bbb{F}_p$, si el discriminante
$$
\Delta=\Delta(x):=\frac{z^2x^2-4(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2}
$$
es un cuadrado de $\Bbb{F}_p$. Deje $\eta:\Bbb{F}_p\to\{0,\pm1\}$ ser la de Legendre carácter, es decir,
$\eta(a)=+1$ si $a$ es un no-cero de la plaza, $\eta(0)=0$ $\eta(a)=-1$ si $a$ es un no-cuadrado.
Suponiendo que el cuarto grado en el numerador $p(x)=z^2x^2-4(x^2+1)^2\in\Bbb{F}_p[x]$ no es de la forma constante de veces un cuadrado, tenemos la Weil obligado
$$
\left\vert\sum_{x\in\Bbb{F}_p}\eta(p(x))\right\vert\le (\deg p -1)\sqrt p.
$$
Aquí $\deg p=4$, por lo que si $p>16$ tenemos que $p-4\sqrt p>0$, y por lo tanto
$$
\sum_{x\in\Bbb{F}_p}\eta(p(x))\ge-3\sqrt p> -p+\sqrt p.
$$
Por lo tanto, existen al menos $\sqrt p>4$ opciones para $x$ tal que $\eta(p(x))\neq-1$.
Dos de las opciones que pueden satisfacer $x^2+1=0$, y uno puede ser $x=0$, y estos deben ser descartadas, pero al menos queda uno.
Así, por $p\ge17$ tenemos que para algunos $x\in\Bbb{F}_p^*$ tenemos que $x^2+1\neq0$ $\Delta(x)$ es un cuadrado. Para ese $x$ tenemos una solución $y\in\Bbb{F}_p$. Claramente las condiciones en las $x$ significa que $y\neq0$.
Tenemos que lidiar con la posibilidad de que para algunos $K,a,b,c\in\Bbb{F}_p$ tenemos en el ring $\Bbb{F}_p[x]$
$$
p(x)= K(ax^2+bx+c)^2.
$$
Claramente, a continuación,$K\neq0$. Buscando en los términos constantes implica que $c\neq0$. Buscando en los términos lineales, a continuación, implie $b=0$. Nos quedamos con la posibilidad
$$
-4x^4+(z^2-8)x^2-4=K(ax^2+c)^2.
$$
A continuación,$Ka^2=-4=Kc^2$, lo $c=\pm a$. Por lo tanto
$$
p(x)=K'(x^2\pm1)^2
$$
para $K'=-4a^2$. Esto implica que
$$
\Delta(x)=-4a^2\left(\frac{x^2\pm1}{x^2+1}\right)^2.
$$
Como suponemos que $p\equiv1\pmod4$, sabemos que $\eta(-1)=1$. Por lo tanto esto implica que $\eta(\Delta(x))=+1$ todos los $x$ tal que $x^2+1\neq0$. De nuevo la existencia de una solución de la siguiente manera.
