¿Por qué no puedo resolver este homogénea de segundo orden de la ecuación diferencial?

Question

He estado golpeando mi cabeza en la pared durante bastante tiempo tratando de encontrar una solución a los siguientes:

$$\frac {\partial^2 y(x)} {\partial x^2} + (A-B*V(x)) y(x) = 0$$

$$V(x) = (36 + (2 - x)^2)^{-1/2}$$

Con a y B constantes, y $y$ únicamente una función de $x$.

Si le ayuda, en mi área de interés $0 \leq x \leq 4$, se puede tratar a V como: $$V(x) = (-1/432)*(x - 2)^2 + 1/6$$

Sin pérdida de precisión (que me importa). En general, sé que esto es equvalent a la forma:

$$y''(x) + p(x)y' + q(x)y = 0$$

Con $p(x) = 0$. Me pueden encontrar un montón de ejemplos de la constante y los coeficientes de soluciones para el formulario de $q(x)=0$.

¿Alguien puede recomendar un anzatz/o método de aproximación de la solución que me puede ayudar a solucionar esto?

Answer 1

Supongamos $B\neq0$ :

$\dfrac{d^2y}{dx^2}+\left(A-B(36+(2-x)^2)^{-\frac{1}{2}}\right)y=0$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}+\biggl(A-\dfrac{B}{\sqrt{(x-2)^2+36}}\biggr)y=0$

$\sqrt{(x-2)^2+36}\dfrac{d^2y}{dx^2}+\left(A\sqrt{(x-2)^2+36}-B\right)y=0$

Deje $u=x-2$ ,

A continuación, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{du}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)=\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{dy}{du}\right)\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d^2y}{du^2}$

$\therefore\sqrt{u^2+36}\dfrac{d^2y}{du^2}+\left(A\sqrt{u^2+36}-B\right)y=0$

Deje $v=\sqrt{u^2+36}$ ,

A continuación, $\dfrac{dy}{du}=\dfrac{dy}{dv}\dfrac{dv}{du}=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+36}}\dfrac{dy}{dv}$

$\dfrac{d^2y}{du^2}=\dfrac{d}{du}\biggl(\dfrac{u}{\sqrt{u^2+36}}\dfrac{dy}{dv}\biggr)=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+36}}\dfrac{d}{du}\biggl(\dfrac{dy}{dv}\biggr)+\dfrac{36}{(u^2+36)^\frac{3}{2}}\dfrac{dy}{dv}=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+36}}\dfrac{d}{dv}\biggl(\dfrac{dy}{dv}\biggr)\dfrac{dv}{du}+\dfrac{36}{v^3}\dfrac{dy}{dv}=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+36}}\dfrac{d^2y}{dv^2}\dfrac{u}{\sqrt{u^2+36}}+\dfrac{36}{v^3}\dfrac{dy}{dv}=\dfrac{u^2}{u^2+36}\dfrac{d^2y}{dv^2}+\dfrac{36}{v^3}\dfrac{dy}{dv}=\dfrac{v^2-36}{v^2}\dfrac{d^2y}{dv^2}+\dfrac{36}{v^3}\dfrac{dy}{dv}$

$\therefore v\biggl(\dfrac{v^2-36}{v^2}\dfrac{d^2y}{dv^2}+\dfrac{36}{v^3}\dfrac{dy}{dv}\biggr)+(Av-B)y=0$

$\dfrac{(v+6)(v-6)}{v}\dfrac{d^2y}{dv^2}+\dfrac{36}{v^2}\dfrac{dy}{dv}+(Av-B)y=0$

$v(v+6)(v-6)\dfrac{d^2y}{dv^2}+36\dfrac{dy}{dv}+v^2(Av-B)y=0$

Answer 2

Soluciones de la ecuación cuadrática potencial que puede ser expresada a través de las funciones de cilindro parabólico. El resultado se $$y(x)=C_1 D_{-\frac{i \sqrt{3} (6A+1)}{\sqrt{B}} -\frac{1}{2}} \left(\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right) \sqrt[4]{B} (x-2)}{3^{3/4}}\right)+$$ $$C_2 D_{\frac{i \sqrt{3}(6A+1)} {\sqrt{B}}-\frac{1}{2}}\left(-\frac{\left(\frac{1}{2}-\frac{i}{2} \right) \sqrt[4]{B} (x-2)}{3^{3/4}}\a la derecha).$$

Answer 3

Sólo una nota, si usted se preocupa por la exactitud, la validez de la aproximación depende de los valores reales de a$A$$B$. Tal vez la mejor manera es que se amplíe $V(x)$ $y(x)$ en la suma de la serie y truncar en el orden correcto de acuerdo a la exigencia de exactitud.