¿Por qué consideramos los conjuntos de Borel en lugar de los conjuntos medibles?

Question

Mudo/ Cuestión que desafía la sabiduría convencional posiblemente relacionado con mi pregunta anterior .

¿Por qué a veces consideramos un espacio de medida $(S, \Sigma, \mu) = (\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue en lugar de $(S, \Sigma, \mu) = (\mathbb{R}, \mathscr{M}(\mathbb{R}), \lambda)$ donde $\mathscr{M}(\mathbb{R})$ es el conjunto de $\lambda$ -subconjuntos medibles de $\mathbb{R}$ ? Quiero decir, hay subconjuntos de $\mathbb{R}$ que no son conjuntos de Borel sino $\lambda$ -derecho medible ? Si no hay ninguno, supongo que eso responde a la primera pregunta.

Posiblemente contestado por arriba pero por qué, en mi pregunta anterior, es "natural" considerar $\mathscr{F}$ ? Supongo que es como por qué es "natural" considerar $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ .

Answer 1

Bueno, yo diría que depende del contexto, pero una de las razones que me vienen a la mente es que el borel $\sigma$ -es más simple (y más pequeña) que la de Lebesgue $\sigma$ -Álgebra $\mathscr{M}(\mathbf{R})$ . Para muchas cosas el conjunto de funciones borel o el álgebra sigma borel es suficiente para lo que quieres hacer, usar el álgebra sigma de Lebesgue sólo dificultaría las pruebas o incluso invalidaría los resultados que quieres demostrar.

Un ejemplo sobre las partes de "pruebas más difíciles": el $\sigma$ -Álgebra $\mathscr{B}(\mathbf{R})$ está generado por los conjuntos abiertos de $\mathbf R$ y muchas pruebas utilizan este hecho. Por desgracia, la situación es más compleja con $\mathscr{M}(\mathbf R)$ .

Un ejemplo sobre la parte de "invalidación de resultados" : Es fácil demostrar que si $f$ y $g$ son de Borel entonces $f\circ g $ también es Borel. Sin embargo, si se define una función medible como una función $f$ tal que para todo conjunto abierto $U\subset \mathbf R$ tienes $f^{-1}(U)\in \mathscr M (\mathbf R)$ entonces la composición de dos funciones medibles no es medible en general.

Nota al margen: el hecho de que la composición de dos funciones medibles no sea medible está estrechamente relacionado con el hecho de que algunas funciones son de Borel pero no de Lebesgue (donde $f$ es la media de Lebesgue $f^{-1}(U)\in \mathscr M (\mathbf R)$ por cada $U\in \mathscr M (\mathbf R))$ . Hay un ejercicio en el análisis real de Folland sobre eso si lo recuerdo bien. Pero $\mathscr M (\mathbf R)$ es absolutamente crucial en la teoría de la integración, de hecho hay funciones que son integrables de Riemann pero no de Borel (pensemos en las funciones características de algún subconjunto del conjunto cantor triádico).

Para terminar, sí $\mathscr M (\mathbf R)\backslash\mathscr B (\mathbf R)$ es no vacía. Pero tiene el siguiente resultado :

si $A\in \mathscr M (\mathbf R)\backslash\mathscr B (\mathbf R)$ entonces existen dos conjuntos de borel $M$ y $N$ tal que $M\subset A$ , $A\subset M \cup N$ y $\lambda(N)=0$ (así $A$ es un conjunto borel hasta algunos no borel insignificante set). Además se tiene $\lambda(A)=\lambda(M)$ .

Answer 2

La primera observación que hay que hacer aquí es que hay una diferencia entre un espacio medible (es decir, un conjunto emparejado con un $\sigma$ -) y un medir el espacio (es decir, un espacio medible dotado de una medida). Te reto a que encuentres ejemplos en los que el espacio de medida $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}),\lambda)$ se estudia de forma no trivial sin referencia implícita a $\mathscr{M}(\mathbb{R})$ . Por otro lado, el espacio medible $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ es un lugar natural para hacer teoría de la medida.

La cuestión con $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}),\lambda)$ es que no es un espacio de medida completo. Es decir, los conjuntos nulos de $\lambda$ no tiene por qué ser medible. En cierto sentido, una vez que sepas qué medida quieres poner en tu espacio medible, debes completarla inmediatamente (lo que puedes hacer libremente). ¿Por qué? Muchos de los teoremas de integración se enuncian de forma más natural si se asume la completitud, y es menos probable que te encuentres con molestas paradojas. Por ejemplo, si me das un conjunto $B \in \mathscr{M}(\mathbb{R}) \setminus \mathscr{B}(\mathbb{R})$ entonces $\chi_{B}$ es medible por Lebesgue pero no por Borel. Sin embargo, puedo encontrar una secuencia $(\varphi_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ de funciones suaves tales que $\varphi_{n}(x) \to \chi_{B}(x)$ para casi todos los $x \in \mathbb{R}$ .

Según mi opinión, una vez que se tiene una medida en mente, se debe completar el espacio. Todavía no me he encontrado con un ejemplo contrario a esta regla general.

Aunque no creo que $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}),\lambda)$ es un espacio de medidas muy interesante, $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ es un espacio medible importante. Esto es más fácil de ver en el contexto de la probabilidad.

Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y nos interesa una función $X : \Omega \to \mathbb{R}$ como a menudo se hace. Probablemente no nos interesa saber $X$ punto, es decir, en la comprensión de la función $\omega \mapsto X(\omega)$ ya que algo implícito en la configuración de un espacio de probabilidad es que no sabemos qué resultados $\omega$ en $\Omega$ que estamos tratando. La configuración de la probabilidad teórica de la medida es, en cambio, que nos gustaría saber $\mathbb{P}\{X \in A\}$ para una colección suficientemente rica de subconjuntos $A$ de $\mathbb{R}$ . Esto sólo está bien definido si los eventos $\{X \in A\}$ están en $\mathcal{F}$ para empezar. En otras palabras, tenemos que entender un poco sobre la empujar hacia adelante $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{F}_{X} = \{A \subseteq \mathbb{R} \, \mid \, X^{-1}(A) \in \mathcal{F}\}$ .

Qué conjuntos deben $\mathcal{F}_{X}$ ¿contiene en general? Esto depende de cómo se quiera definir la teoría de la probabilidad. La configuración estándar es $X$ es una variable aleatoria si el empuje hacia adelante $\sigma$ -algebra contiene $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ . ¿Por qué? Bueno, una forma de pensar en las variables aleatorias es preguntar que, como mínimo, deberíamos ser capaces de calcular $\mathbb{P}\{X \leq c\}$ para números reales arbitrarios $c$ . Más rigurosamente, deberíamos exigir que $\{X \leq c\} \in \mathcal{F}$ (o $(-\infty,c] \in \mathcal{F}_{X}$ ) independientemente de la elección de $c$ .

Sin embargo, la colección $\{(\infty,c] \, \mid \, c \in \mathbb{R}\}$ genera $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ por lo que si el $\mathcal{F}_{X} \supseteq \{(-\infty,c] \, \mid \, c \in \mathbb{R}\}$ entonces contiene $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ . De hecho, se cumple el siguiente resultado:

Los siguientes son equivalentes:

1) $\mathscr{B}(\mathbb{R})\subseteq \mathcal{F}_{X}$

2) $\forall c \in \mathbb{R} \quad \{X \leq c\} \in \mathcal{F}$

3) $\forall c \in \mathbb{R} \quad \{X < c\} \in \mathcal{F}$

4) $\forall c \in \mathbb{R} \quad \{X \geq c\} \in \mathcal{F}$

5) $\forall c \in \mathbb{R} \quad \{X > c\} \in \mathcal{F}$

6) Si $U \subseteq \mathbb{R}$ está abierto, entonces $\{X \in U\} \in \mathcal{F}$

7) Si $C \subseteq \mathbb{R}$ está cerrado, entonces $\{X \in C\} \in \mathcal{F}$

La cuestión es que si quieres ser capaz de hacer preguntas sobre variables aleatorias que impliquen la topología (u ordenación) de $\mathbb{R}$ entonces se necesita que la variable aleatoria sea medible desde $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ en $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ como mínimo. Por eso la teoría moderna de la probabilidad define las variables aleatorias (de valor real) en términos de $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ .

Answer 3

No estoy seguro de lo que tienes en mente cuando dices ejemplo, pero si buscas en un libro de probabilidad básico (de nivel universitario) verás que realmente luchan con el hecho de que no puedes dar una probabilidad a cualquier evento arbitrario. La cuestión es entonces qué subconjunto de $2^{\mathbb R}$ que quieres considerar. Hay cierto deseo de ser lo más amplio posible, pero la maquinaria básica que hay que desarrollar es bastante difícil y quizás demasiado difícil para el típico estudiante de probabilidad clásica que probablemente nunca se encontrará en el mundo real con un suceso que no sea un conjunto de Borel. En la enseñanza de la probabilidad encontramos que incluso los conjuntos de Borel son demasiado complicados para el típico estudiante que es un científico que sólo quiere probar la significación de sus datos. Para estas personas probablemente nunca se encontrarán con un evento que no sea un intervalo, o como mucho una unión de dos o tres intervalos. Pero tales estudiantes se perderían en los difíciles detalles de análisis necesarios para incluir más conjuntos de los que realmente necesitarían. Por eso algunos autores, como Larson, evitan por completo la cuestión de los conjuntos no integrables y se limitan a advertir al estudiante de que no todos los subconjuntos de $\mathbb R$ pueden ser eventos y luego seguir adelante.

Answer 4

Perspectiva de la probabilidad:

PARTE I

Es más natural utilizar conjuntos de Borel que conjuntos medibles de Lebesgue porque

1. De la probabilidad elemental, la función de distribución acumulativa es $$F_X(x) = P(X \le x) = P(\{X \le x\}) = P(X \in (-\infty, x]).$$ Es decir, a menudo investigamos probabilidades (medidas) de variables aleatorias (funciones medibles) en conjuntos de la forma $(-\infty, x]$

2. Ahora bien, si se reúnen esos conjuntos, tenemos un $\pi$ -sistema:

$$\pi(\mathbb R) := \{(-\infty, x] \ | \ x \in \mathbb R \}$$

Entonces, finalmente

$$\sigma(\pi(\mathbb R)) = \mathscr B (\mathbb R)$$

Así, los conjuntos en $\mathscr M (\mathbb R) \setminus \mathscr B (\mathbb R)$ no es necesario tenerlo en cuenta.

PARTE II

También en consonancia con esto, explicando así probablemente por qué esta es una pregunta tonta, los conjuntos de Borel están más en la salida que en la entrada de las variables aleatorias. Los conjuntos medibles son la entrada. Así, la medida de Lebesgue o cualquier otra medida ( $\mathbb P$ ) se utilizaría, sería más para calcular las probabilidades de que ciertas variables aleatorias estén en conjuntos de Borel que para calcular la longitud de los conjuntos de Borel o algo así.